4.5.5. Диференціальні рівняння, ліва частина яких є точна похідна

Припустимо, що диференціальне рівняння (4.67), його ліва частина, є точна похідна за від деякої функції, тобто

,

тоді диференціальне рівняння (4.67) має перший інтеграл

(4.70)

так, що його порядок можна понизити на одиницю.

Приклад 4.8.Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Маємо,,,– загальний інтеграл.

Якщо ліва частина диференціальне рівняння (4.67) не є точною похідною, то в деяких випадках можна знайти функцію , після домноження на яку рівняння (4.67), його ліва частина, буде точною похідною за. Ця функція називається інтегрувальним множником. Якщо ми знаємо функцію, то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розв'язки, які знаходяться з рівняння.

Приклад 4.9.Знайти загальний розв'язок диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Візьмемо, тоді. При цьому,– розвязки нашого диференціального рівняння. Маємо

.

– перший інтеграл. Перепишемо його в такій формі. Звідки– загальний інтеграл. Особливих розвязків немає, так як диференціальне рівнянняприводить до розвязків, які містяться в загальному.

67