матан 3 курс 2013 / лекции / Визначений інтеграл / лекция № 11

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 11

з теми: «Визначений інтеграл Рімана. Необхідні та достатні умови інтегрування.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.08 Визначений інтеграл

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Визначений інтеграл Рімана. Необхідні та достатні умови інтегрування.

Мета:

• Дидактична: навчитись застосовувати таблицю первісних для знаходження інтеграла Ньютона – Лейбніца, володіти методами інтегрування, досліджувати функцію на інтегрованість за Ріманом, застосовувати інтеграл Рімана при розв'язанні задач механіки та фізики.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення первісної, визначення невизначеного інтегралу, таблиця інтегралів основних елементарних функцій, класи функцій, що інтегруються, методи інтегрування. Визначення границі функції в точці, властивості границі функції в точці.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Визначений інтеграл Рімана. Необхідні та достатні умови інтегрування.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – визначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 11.

Тема: Визначений інтеграл Рімана. Необхідні та достатні умови інтегрування.

План лекції № 11.

1. Визначений інтеграл Рімана.

2. Обмеженість інтегруємих функцій. Необхідні та достатні умови інтегрованості функцій.

Нехай функція неперервна на відрізку причому і . Фігура , що обмежена кривою , віссю ОХ та ординатами називається криволінійною трапецією .

Нехай S-площа (рис 1). Розіб’ємо відрізок на п- довільних частин точками і в точках проведемо ординати до перетину із кривою. Тоді криволінійна трапеція розіб’ється на п полосок, кожну з яких можна вважати за прямокутник з основою . У кожному із проміжків візьмемо точку , а значення приймемо за висоту відповідного прямокутника. Тоді площа такого прямокутника буде рівна , а площа ступінчатої фігури, що складається із таких прямокутників, буде

, або

(2.1)

де - означає знак сумування.

Сума із (2.1) називається інтегральною сумою для функції . Очевидно, що при і всі прямокутники границі будуть прямувати до ординат функції , а сума - площі . Отже, має місце твердження.

Якщо при і існує скінченна границя інтегральної суми (2.1), яка не залежить від розбиття відрізка та вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку , тобто

.

Але, оскільки , то звідси випливає геометричний зміст визначеного інтеграла, а саме: визначений інтеграл від невід‘ємної функції на відрізку дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (в даному випадку ), тобто

(2.2)

Визначення 1. Множина точок відрізку [a, b] τ = , таких, що , називається розбиттям відрізку [a, b], aR, bR. Точки хk називаються точками розбиття τ, відрізки [хk-1, хk] – відрізками розбиття τ, їх довжини позначаються Δхk, а число називається дрібністю розбиття τ.

Нехай функція ƒ визначена на відрізку [a, b], де a < b та τ = - деяке розбиття цього відрізку. Будь – яка сума στ = називається інтегральною сумою Рімана.

Якщо функція невід’ємна, то інтегральна сума στ дорівнює площині фігури, що складена з прямокутників з основою [хk-1, хk] та висотою довжини ƒ(ξk).

Визначення 2. Функція ƒ називається інтегрованою за Ріманом на відрізку [a, b], якщо існує таке число І, що для будь – якої послідовності розбиття τn = , n = 1,2,…, відрізка [a, b] дрібностей розбиття, що йдуть до 0 при n→∞: та при любому виборі точок існує границя інтегральних сум στ та він дорівнює І: . Число І називається інтегралом Рімана від функції ƒ на відрізку [a, b] та позначається .

Існує визначення інтегралу Рімана через «символи ε – σ».

Визначення 3. Число І називається інтегралом Рімана від функції ƒ на відрізку [a, b], якщо відрізку [a, b], дрібність якого виконується нерівність

Визначення 2 та 3 є рівносильними.

Якщо функція ƒ задана в точці х = а, то за визначенням . Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b], то положимо .

Теорема (необхідна умова інтегрованості функції на відрізку) Якщо функція інтегрована на деякому відрізку, то вона обмежена на ньому.

Нехай функція ƒ визначена на відрізку [a, b], τ = - деяке розбиття цього відрізку. Δk = [хk-1, хk], Δхk = хk – хk-1. Положимо Мk = supƒ(х), mk = infƒ(х), х Δk, k = 1,2,…,kτ. . Сума Sτ називається верхньою, sτ – нижньою сумою Дарбу. Коли ƒ – обмежена, то суми Дарбу при будь – якому розбитті приймають скінчені значення та пов’язані нерівністю Sτ ≥ sτ.

Теорема (необхідна та достатня умова інтегрованості функції) Для того, щоб обмежена на деякому відрізку функція була інтегрована на цьому відрізку, необхідно та достатньо, щоб суми Дарбу Sτ та sτ цієї функції задовольняли умову (Sτ - sτ) = 0.

Наслідки. Для того, щоб обмежена на деякому відрізку функція була інтегрована на цьому відрізку, необхідно та достатньо, щоб , де τ = - деяке розбиття відрізку [a, b], а wk(ƒ) – коливання функції ƒ на відрізку Δk = [хk-1, хk].

Наслідки. Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b] та Sτ , sτ – її суми Дарбу, то Sτ = sτ = .

Теорема (достатня умова інтегрованості функції) Функція, що неперервна на відрізку, інтегрована на ньому.

Теорема (достатня умова інтегрованості функції) Функція, що монотонна на відрізку, інтегрована на ньому.