§ 1. Поняття числового ряду

називається нескінченним рядом, а ці числа - членами ряду.

Замість нескінченного підсумовування, користуючись знаком суми, часто

∞

пишуть ∑an .

n=1

Поняття нескінченного ряду, це нове поняття, ми поки не вміємо визначати, чому дорівнює його сума.

Означення. N - ою частковою сумою ряду називається скінчена сума всіх членів ряду до n - ого члена включно, тобто сума

n

Sn = ∑ai = a1 + a2 +... + an .

i=1

Зокрема,

S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , ...

Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує скінчена границя послідовності його часткових сум

lim Sn = S .

n→∞

Число S в цьому випадку називають сумою ряду й пишуть

∞

S = ∑ai = a1 + a2 +... + ai +...

i=1

Якщо границя дорівнює нескінченності або не існує, то кажуть, що ряд розбігається.

тому спільної границі lim Sn не існує.

n→∞

Зауваження. Питання про збіжність ряду зводиться до питання про збіжність послідовності часткових сум. Проте можна підійти до цього питання й навпаки. Нехай дана послідовність S1 , S2 , S3 , …, Sn , … Побудуємо ряд, для якого ця

послідовність є послідовністю часткових сум

Для даного ряду побудована послідовність, що є послідовністю його часткових сум. Збіжність ряду рівносильна збіжності послідовності.

Таким чином, усі питання для рядів можна перефразувати в термінах послідовностей і навпаки.

§ 2. Критерій Коши й необхідна умова збіжності

Нам відомий критерій Коши з теорії границь, тобто необхідна й достатня умова збіжності послідовності, а саме: для того щоб послідовність була збіжною необхідно й достатньо, щоб вона була фундаментальна. Означення фундаментальності: для кожного ε > 0 існує номер N(ε) такий, що для будь-якого

n > N й для кожного p > 0 (p N ), виконане Sn+p − Sn < ε .

Ця умова є необхідною й достатньою умовою збіжності ряду, якщо під Sn

розуміти послідовність часткових сум цього ряду.

∞

Теорема. (Критерій Коши для рядів) Для того, щоб ряд ∑an був збіжним,

n=1

необхідно й достатньо, щоб для кожного ε > 0 існував номер N(ε) такий, що для

n+p

будь-якого n > N й для кожного p > 0 , p N було виконане ∑ak <ε .

k=n+1

Доведення випливає із критерію Коши для послідовностей. Зауважимо, проте, що критерій Коши не дуже зручний у застосуванні. Однак існує дуже проста необхідна умова збіжності ряду.

∞

Теорема (необхідна умова збіжності ряду). Якщо ряд ∑ai збігається, то

i=1

lim ai = 0 .

i→∞

Доведення. □ Припустимо, що ряд збігається. Тоді, за критерієм Коши, для кожного ε > 0 існує N(ε) такий, що для будь-якого n > N й для кожного p > 0

допомогою критерію Коши.

Для кожного, як завгодно великого n візьмемо p = n . Тоді

виконується умова фундаментальності. Отже, за критерієм Коші ряд розбігається. Можна цей факт довести інакше:

. . . .

S2K = k 2+1 . Остання формула доводиться по індукції.

Отже, з послідовності часткових сум ми виділили підпослідовність, що прямує до нескінченності. Виходить, послідовність часткових сум розбігається, отже, початковий ряд розбігається.

Проте необхідну умову все-таки можна використовувати при дослідженні рядів, а саме, як достатню умову розбіжності.

Теорема (Достатня умова розбіжності). Якщо загальний член ряду не прямує до нуля, то ряд розбігається.

Доведення від супротивного.

lim Cn = C причому C = A + B . ■

n→∞