
- •Змістовий модуль 8.
- •8.1.2. Властивості невизначеного інтеграла
- •8.1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів
- •8.2. Основні методи інтегрування
- •8.2.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •8.2.3. Метод інтегрування частинами
- •8.3. Інтегрування раціональних функцій
- •8.3.1. Поняття про раціональні функції Многочлен (деякі відомості довідкового характеру)
- •Дробово-раціональна функція
- •8.3.2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •8.3.3. Інтегрування раціональних дробів
- •8.4. Інтегрування тригонометричних функцій
- •8.4.1. Універсальна тригонометрична підстановка
- •8.4.2. Інтеграли виду
- •8.4.3. Використання тригонометричних перетворень
- •8.5. Інтегрування ірраціональних функцій
- •8.5.1. Квадратичні ірраціональності
- •8.5.2. Дробово-лінійна підстановка
- •8.5.3. Тригонометрична підстановка
- •8.5.4. Інтеграли виду
- •8.5.5. Інтегрування диференціального бінома
- •8.6. Інтеграли, що «беруться» і «не беруться»
8.3.3. Інтегрування раціональних дробів
Розглянутий в пунктах 1-3 матеріал дозволяє сформулювати загальне правило інтеграції раціональних дробів.
Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми многочлена і правильного дробу (див. пункт 2);
Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, подати його у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;
Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.
Приклад
7.
Знайти інтеграл
.
Під знаком інтеграла неправильний дріб; виділимо його цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:
_ x5 +2x3 +4x+4|x4 +2x3 +2x2
х5+2x4 +2x3 |x–2
_–2x4 +4x+4
–2x4–4x3–4x2
4x3+4x2+4x+4 (остача).
Отримаємо:
Розкладемо правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:
,
,
тобто
.
Звідси слідує, що
Знаходимо:
.
Отже
,
і
.
Інтегруємо отриману рівність:
.
Позначимо
,
тоді
і
.
Таким чином
.
Отже
.
Відзначимо, що будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функціях.
8.4. Інтегрування тригонометричних функцій
8.4.1. Універсальна тригонометрична підстановка
Розглянемо деякі
випадки знаходження інтеграла від
тригонометричних функцій. Функцію із
змінними
і
,
над якими виконуються раціональні дії
(додавання, віднімання, множення і
ділення) прийнято позначати
,
де
– знак раціональної функції.
Обчислення
невизначених інтегралів типу
зводиться до обчислення інтегралів від
раціональної функції підстановкою
,
яка називаєтьсяуніверсальною.
Дійсно.
Тому
де
- раціональна функція від
.
Звичайно, цей спосіб досить громіздкий,
зате він завжди приводить до результату.
На практиці застосовують і інші, більш прості підстановки, залежно від властивостей (і вигляду) підінтегральної функції. Зокрема, зручні наступні правила:
1)
якщо функція
непарна відносно
,
тобто
,
то підстановку
раціоналізує
інтеграл;
2)
якщо функція
непарна відносно
,
тобто
,
то виконується підстановка
;
3)
якщо функція
парна відносно
і
,
тобто
,
то інтеграл раціоналізується підстановкою
.
Така ж підстановка застосовується, якщо
інтеграл має вигляд
.
Приклад
1.
Знайти інтеграл
Зробимо
універсальну підстановку
.
Тоді,
.
Отже
.
Приклад
2.
Знайти інтеграл
.
Оскільки
,
то вважаємо
.
Звідси
,
і
.
Тому.
8.4.2. Інтеграли виду
Для знаходження таких інтегралів використовуються наступні прийоми:
1)
підстановка
,
якщо
– ціле додатне непарне число;
2)
підстановка
,
якщо
– ціле додатне непарне число;
3)
формули пониження порядку:
,
якщо
і
- цілі невід’ємні парні числа;
4)
підстановка
,
якщо
–
є парне від’ємне ціле число.
Приклад
3.
Знайти інтеграл
.
Застосуємо
підстановку
.
Тоді
,
і
.
Приклад
4.
Знайти інтеграл
.
.
Приклад
5.
Знайти інтеграл
.
Тут
.
Позначимо
.
Тоді
,
і
.
8.4.3. Використання тригонометричних перетворень
Інтеграли
типу
,
,
обчислюються за допомогою відомих
тригонометричних формул:
,
,
.
Приклад
6.
Знайти інтеграл
.
.
8.5. Інтегрування ірраціональних функцій
8.5.1. Квадратичні ірраціональності
Розглянемо деякі типи інтегралів, що містять ірраціональні функції.
Інтеграли
типу,
називають
невизначеними
інтегралами від квадратичних
ірраціональностей.
Їх можна знайти таким чином: під радикалом
виділити повний квадрат
і
зробити підстановку
.
При цьому перші два інтеграли приводяться
до табличних, а третій – до суми двох
табличних інтегралів.
Приклад
1.
Знайти інтеграли
.
Оскільки
,
то
.
Зробимо
підстановку,
,
.
Тоді
.
Приклад
2.
Знайти інтеграл
.
Оскільки
,
то підстановка має вигляд
,
,
.
Тоді
.
Інтеграли
типу,
де
- многочлен степеня
можна обчислювати, користуючись формулою
(5.1)
де
-
многочлен степеня
з невизначеними коефіцієнтами,
– також невизначений коефіцієнт.
Всі невизначені коефіцієнти знаходяться з тотожності, отриманої диференціюванням обох частин рівності (5.1):
,
після
чого необхідно прирівняти коефіцієнти
при однакових степенях невідомої
.
Приклад
3.
Знайти інтеграл
По формулі (5.1) маємо:
.
Диференціюючи цю рівність, отримаємо:
,
тобто
,
.
Порівнюємо
коефіцієнти при однакових
степенях
:
,
при
при
при
Звідси.
Отже
.