
- •Змістовий модуль 8.
- •8.1.2. Властивості невизначеного інтеграла
- •8.1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів
- •8.2. Основні методи інтегрування
- •8.2.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •8.2.3. Метод інтегрування частинами
- •8.3. Інтегрування раціональних функцій
- •8.3.1. Поняття про раціональні функції Многочлен (деякі відомості довідкового характеру)
- •Дробово-раціональна функція
- •8.3.2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •8.3.3. Інтегрування раціональних дробів
- •8.4. Інтегрування тригонометричних функцій
- •8.4.1. Універсальна тригонометрична підстановка
- •8.4.2. Інтеграли виду
- •8.4.3. Використання тригонометричних перетворень
- •8.5. Інтегрування ірраціональних функцій
- •8.5.1. Квадратичні ірраціональності
- •8.5.2. Дробово-лінійна підстановка
- •8.5.3. Тригонометрична підстановка
- •8.5.4. Інтеграли виду
- •8.5.5. Інтегрування диференціального бінома
- •8.6. Інтеграли, що «беруться» і «не беруться»
Дробово-раціональна функція
Дробово-раціональною
функцією
(або раціональним
дробом)
називається функція, рівна відношенню
двох многочленів, тобто
,
де
- многочлен степеня
,
а
- многочлен степеня
.
Раціональний
дріб називається правильним,
якщо степінь чисельника менше степеня
знаменника, тобто
;
в протилежному випадку(якщо
)
раціональний
дріб називається неправильним.
Всякий
неправильний раціональний дріб
можна, шляхом ділення чисельника на
знаменник, подати у вигляді суми
многочлена
і
правильного раціонального дробу
,
тобто
.
Наприклад,– неправильний раціональний дріб.
Розділимо чисельник на знаменник в
стовпчик:
_ х4 –5х +9|х–2
х4–2х3 |х3 +2x2 +4x+3
_ 2х3 –5х + 9
2х3–4х2
_4х2 – 5х + 9
4х2 – 8х
_ 3х + 9
3х – 6
15.
Отримаємо
часткуі залишок
.
Отже,
.
Правильні раціональні дроби вигляду
(I).;
(II).;
(III).(корені знаменника комплексні, тобто
);
(IV).(
,
корені знаменника комплексні) ,
де
-
дійсні числа, називаютьсянайпростішими
раціональними
дробами I, II, III і IV типів.
Теорема
8.3.8.
Всякий
правильний раціональний дріб,
знаменник якого розкладений на множники
,
можна
подати (і притому єдиним чином) у вигляді
наступної суми найпростіших дробів:
,
(3.6)
де
–
деякі дійсні коефіцієнти.
Пояснимо формулювання теореми на наступних прикладах:
1)
;
2)
;
3)
.
Для
знаходження невизначених коефіцієнтів
в
рівності (3.6) можна застосувати метод
порівняння коефіцієнтів.
Суть методу така:
1.
В правій частині рівності (3.6) зведемо
до спільного знаменника;
в результаті отримаємо тотожність
,
де
–
многочлен з невизначеними коефіцієнтами.
2. Оскільки в отриманій тотожності знаменники рівні, то тотожно рівні і чисельники, тобто
.
(3.7)
3.
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових
степенях
(по теоремі 31.5 про тотожність многочленів)
в обох частинах тотожності (3.7), отримаємо
систему лінійних рівнянь, з якої і
визначимо шукані коефіцієнти
Приклад
3.
Подати дріб
у вигляді суми найпростіших дробів.
Згідно теореми 31.8 маємо:
,
тобто
.
Звідси слідує
,
тобто
.
Прирівнюючи
коефіцієнти при
,
отримаємо
Розв’язуючи
систему, знаходимо, що
.
Отже,
.
Для
знаходження невизначених коефіцієнтів
застосовують також метод окремих значень
аргументу: після отримання тотожності
(3.7) аргументу
надають конкретні значення стільки
раз, скільки невизначених коефіцієнтів
(звичайно вважають за
значення
дійсних коренів многочлена
).
Приклад
4.
Подати дріб
у вигляді суми найпростіших
дробів.
Маємо:
.
Звідси слідує
Покладемо
,
тоді
,
тобто
;
покладемо
,
тоді
, тобто
; покладемо
,
тоді
,
тобто
.
Отже
.
8.3.2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів.
1.
(формула (2) таблиці інтегралів);
2.
(формула (1));
3.
Розглянемо інтеграл
.
Виділивши в знаменнику повний квадрат, отримаємо:
,
причому
.
Зробимо підстановку
.
Тоді
,
.
Покладемо
.
Отже, використовуючи формули (2) і (15)
таблиці інтегралів, отримуємо:
,
тобто,
повертаючись до змінної
.
Приклад
5.
Знайти
.
.
Зробимо підстановку
.
Тоді
,
і
.
4.
Обчислення інтеграла вигляду
.
Даний
інтеграл підстановкою
зводиться до суми двох інтегралів:
,
.
Перший інтеграл легко обчислюється:
.
Обчислимо
другий інтеграл:
.
(3.8)
До
останнього інтеграла застосуємо
інтегрування частинами. Покладемо
,
тоді
Підставляючи знайдений інтеграл в рівність (3.8), отримаємо
,
тобто
.
Отримана
формула дає можливість знайти інтеграл
для будь-якого натурального числа
.
Приклад
6.
Знайти інтеграл
.
Тут
до
.
Оскільки
,
то
,
.