Завдання для самостійної роботи

Записати значення функції у вигляді збіжного числового ряду

1. 2.3.

4. 5.6.

7. 8.9.

Обчислити значення функції з заданою точністю

10. , . 11. , .

12. , (скористатися тим, що).

Обчислити визначений інтеграл з заданою точністю

13. , 14. , .

Відповіді.

1. 2.3.4.

5. 6.

7. 8.

9.

10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь

за допомогою степеневих рядів

Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відповідної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі початкової точки , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіцієнти якого обчислюють шляхом диференціювання.

Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних формул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.

Зразки розв’язування задач

1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

,.

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції:

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

2. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

,.

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Тейлора для функції:

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

,,.

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції:

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тоді ,

.

4. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

,,.

Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієнтами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння та початкові умови ( права частина рівняння також повинна бути записаною у вигляді ряду).

,

,

,

.

;

;

,

.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної та отримаємо рекурентну послідовність рівностей:

;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

,.

Тоді шуканий ряд має вигляд

.

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

, де.

5. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

,,.

Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.

,

,

.

;

;

,

.

Отримаємо рекурентну послідовність рівностей

;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

,.

Тоді шуканий ряд має вигляд

.

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

.