Глава 12 Функціональні послідовності й ряди

11

b

b

∞

∞

b

∫S(x)dx = ∫

∑un (x) dx = ∑

∫un (x)dx .

a

a n=1

n=1

a

Доведення. □ 1) Покажемо спочатку, що функція S(x)

інтегрована. Оскільки

∞

всі un (x) неперервні й ряд збігається рівномірно ∑un

(x) S(x), то за властивістю 1

n=1

сума ряду - неперервна функція на [a; b], і за теоремою про інтегрованість

неперервної функції маємо, що S(x) інтегрована.

b

2) Покажемо, що твердження теореми рівносильне умові

nlim→∞ ∫ϕn (x)= 0 , а

потім для доведення теореми доведемо, що цю умову виконано.

a

∞ b

b

За теоремою ми повинні показати, що виконане ∑ ∫ui

(x)dx

= ∫S(x)dx .

i=1 a

a

Усі ці інтеграли існують, оскільки функції неперервні. Введемо позначення

b

(x)dx = ai ,

b

∫ui

∫S(x)dx = S .

a

a

∞

Ми повинні довести, що ∑ai

= S

або,

мовою ε − N ,

що для кожного ε > 0

i=1

n

існує номер

N

такий, що для

кожного n > N

виконане

∑ai − S

< ε .

(Якщо

i=1

використати поняття часткової суми, то

Sn − S

< ε .)

Запишемо останню нерівність

b

b

b

b

∫u1 (x)dx + ∫u2 (x)dx +…+ ∫un (x)dx − ∫S(x)dx

< ε .

(n +

a

a

a

a

Доданків

1) - скінчена кількість.

Для

інтеграла Римана виконується

властивість:

інтеграл

від

суми

дорівнює

сумі

інтегралів,

тобто

b

∫(u1

(x)+u2 (x)+…+un (x)− S(x))dx

< ε ,

a

S(x) −[u1 (x) +u2 (x) +... +un (x)

]= S(x) − Sn (x) =ϕn (x) тому нерівність приймає

але

b

вигляд

∫ϕn (x)dx

< ε .

a

3) Доведемо останню нерівність, використовуючи рівномірну збіжність ряду.

Для цього за фіксованим ε

ми повинні знайти номер N . Рівномірна збіжність ряду

нашим ε знайдеться такий номер N , що n > N ϕ

n

(x) < ε

b −a

відразу для всіх

x [a; b].

Тоді для цих номерів n маємо

Глава 12 Функціональні послідовності й ряди

12

b

b

b

ε

∫

ϕn (x)dx

≤

∫

ϕn (x)

dx <

∫b −a

dx = ε . ■

a

a

a

Наведемо аналог теореми для послідовностей.

Теорема. Якщо послідовність функцій {fn (x)} неперервних на [a; b]

збігається до граничної функції

f (x) рівномірно на [a; b], то

b

b

b

∫

∫ f (x)dx = ∫(nlim→∞ fn (x))dx = nlim→∞

fn (x)dx .

a

a

a

Властивість 3. Почленне диференціювання ряду

∞

∞

Теорема. Нехай 1) Ряд ∑un (x) збігається на [a; b]

й ∑un (x)= S

(x);

n=1

′

n=1

2) існують похідні un (x)– неперервні на [a; b];

∞

3) ∑un′ (x) на [a; b].

n=1

Тоді

′

1) існує похідна суми ряду

S

(x) на [a; b];

∞

′

′

2) ряд можна почленно диференціювати ∑un

(x)= S (x), або

′

n=1

∞

∞

∑un (x)

= ∑un (x).

′

n=1

n=1

∞

Доведення. □ Позначимо через S * (x)

суму ряду з похідних ∑un′

(x)= S * (x).

n=1

За

властивістю 1 неперервності

суми

ряду

S * (x)

– неперервна функція.

похідних почленно в проміжку від a

до x [a; b] . Одержимо

x

∞ x

∫S

*

′

(t)dt = ∑

∫un (t)dt .

a

n=1 a

x

′

−un (a) . Одержимо

Помітимо, що ∫un (t)dt = un (x)

x

a

∞

∞

∞

∫S * (t)dt = ∑(un (x) −un (a))= ∑un (x) −∑un (a) = S(x)− S(a).

a

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

Глава 12 Функціональні послідовності й ряди

13

∞

Зауваження. Замість поточкової збіжності ряду ∑un (x) достатньо зажадати

n=1

Наведемо аналог теореми для послідовностей.

Теорема. Нехай послідовність {fn (x)} неперервне диференційованих на

відрізку [a; b] функцій, збігається хоча б в одній точці x0 [a; b], а послідовність

їхніх похідних {fn′} на [a; b].

Тоді послідовність {fn } рівномірно збігається на

[a; b]; її границя є неперервне диференційованою на цьому відрізку функцією й

lim

fn′(x) = ( lim fn (x))′ = f ′(x) .

n→∞

n→∞