9.7.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої.

Нехай в прямокутних координатах дана плоска крива , рівняння якої , де .

Під довжиною дуги розуміється границя, до якої прямує довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число ланок необмежено зростає, а довжина найбільшої ланки прямує до нуля.

Покажемо, що якщо функція її похіднанеперервна на відрізку, то крива, має довжину, рівну

. (9.7.3)

Застосуємо першу схему (метод сум).

(рис.183)

1. Точками розіб'ємо відрізок на

частин (див. рис. 183). Нехай цим точкам відповідають точки на кривій . Проведемо хорди , довжини яких позначимо відповідно через . Отримаємо ламану , довжина якої рівна .

2. Довжину хорди (або ланки ламаної) можна знайти за теоремою Піфагора

з трикутника з катетами і :

, де .

По теоремі Лагранжа про скінчений приріст функції , де . Тому

, а довжина всіх ламаних рівна

. (9.7.4)

3. Довжина кривою, по означенню, дорівнює.

Помітимо, що при також і і, отже, . Функція неперервна на відрізку, оскільки, по умові, неперервна функція. Отже, існує границя інтегральної суми (9.7.4), коли:

.

Таким чином , або в скороченому записі .

Якщо рівняння кривої задано в параметричній формі

,

де і —неперервні функції з неперервними похідними і і , то довжина кривою знаходиться по формулі

. (9.7.5)

Формула (9.7.4) може бути отримана з формули (9.7.1) підстановкою .

Приклад 9.7.4. Знайти довжину кола радіусу .

○ Знайти частину її довжини від точки до точки (див.рис. 184).

(рис.184)

Оскільки , то

.

Значить, . Якщо рівняння кола записати в параметричному вигляді , то .●

Обчислення довжини дуги може бути засновано застосуванням методу диференціала. Покажемо, як можна отримати формулу (9.7.3), застосувавши другу схему (метод диференціала).

1. Візьмемо довільне значення і розглянемо змінний

відрізок . На ньому величина стає функцією від , тобто .

2. Знаходимо диференціал функції при зміні на малу величину . Знайдемо , замінюючи нескінченно малу дугу хордою , що стягує цю дугу (див. рис. 185):

(рис.185)

.

Отже, .

3. Інтегруючи в межах від до , отримаємо .

Рівність називається формулою диференціала дуги в

прямокутних координатах.

Оскільки , то .

Остання формула є теоремою Піфагора для нескінченно рисого трикутника (див. рис. 186).

(рис.186)

Нехай крива задана рівнянням в полярних координатах . Припустимо, що інеперервні на відрізку.

Якщо в рівностях , що зв'язують полярні і декартові

координати, параметром вважати кут , то криву можна задати параметрично

.

Тоді

.

Тому

Застосовуючи формулу (9.7.5), отримаємо .

Приклад 9.7.5. Знайти довжину кардіоїди .

○ Кардіоїда має вигляд, зображений на рис. 187. Вона симетрична відносно полярної осі. Знайдемо половину довжини кардіоїди:

(рис.187)

.

Таким чином . Значить, .●