9.7.2. Обчислення площ плоских фігур

Як вже було встановлено (див. «геометричне значення визначеного інтеграла»), площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» за вісь абсцис (), дорівнює відповідному визначеному інтегралу:

. (9.7.1)

Формула (9.7.1) отримана шляхом застосування першої схеми—методу сум. Обґрунтуємо формулу (9.7.1), використовуючи другу схему. Нехай криволінійна трапеція обмежена лініями (див. рис..174).

(рис.174)

Для знаходження площі S цієї трапеції виконаємо наступні операції:

1. Візьмемо довільне і вважатимемо, що.

2. Дамо аргументу приріст . Функція

отримає приріст , який є площею «елементарної криволінійної трапеції» (на малунку вона виділена).

Диференціал площі це головна частина приросту при , і, очевидно, він дорівнює площі прямокутника з основою і висотою .

3. Інтегруючи одержану рівність в межах від до , отримаємо .

Відзначимо, що якщо криволінійна трапеція розташована «нижче» осі , то її площа може бути знайдена по формулі

. (9.7.2)

Формули (9.7.1) і (9.7.2) можна об'єднати в одну:

.

(рис.175)

Площа фігури, обмеженої кривими і , прямими і (при умові ) (див. рис. 175), можна знайти по формулі

. (*)

(рис.176)

Якщо плоска фігура має «складну» форму (див. рис. 176), то прямими, паралельними осі , її слід розбити на частини так, щоб можна б було застосувати відомі формули.

Якщо криволінійна трапеція обмежена прямими і , віссю і неперервною кривою (див. рис.177), то її площа знаходиться по формулі .

(рис.177)

І, нарешті, якщо криволінійна трапеція обмежена кривою заданою параметрично

,

прямими , і віссю , то площа її знаходиться по формулі

,

де і визначаються з рівності .

Приклад 9.7.1. Обчислити площу фігури, що обмежена віссю і графіком функції при .

(рис.178)

○ Фігура має вигляд, зображений на рис. 178. Знаходимо її площу :●

Приклад 9.7.2. Обчислити площу фігури, що обмежена еліпсом ,.

○ Знайдемо спочатку площіS. Тут змінюється від 0 до, отже,змінюється віддо 0 (див. рис. 179).

(рис.179)

Знаходимо:

.

Таким чином, . Значить.●

Знайдемо площу S криволінійного сектора, тобто плоскої фігури, обмеженої неперервною лінією і двома променямиі, деі—полярні координати (див. рис. 180). Для розв’язання задачі використовуємо другу схему—метод диференціала.

(рис.180)

1. Вважатимемо частину шуканої площі S як функцію кута , тобто , де (якщо , то , якщо , то ).

2. Якщо поточний полярний кут отримає приріст , то й приріст площі дорівнює площі «елементарного криволінійного сектора» .

Диференціал є головною частиною приросту при і дорівнює площі кругового сектора (на рис. вона заштрихована) радіусу з центральним кутом . Тому .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах і , отримаємо шукану

площу

.

Приклад 9.7.3. Знайти площу фігури, що обмежена «трьохпелюстковою трояндою» (див. рис. 181).

(рис.181)

○ Знайдемо спочатку площу половини одного листка «троянди», тобто частини всієї площі фігури:

, тобто . Отже, .●

Якщо плоска фігура має «складну» форму, то промінням, що виходить з полюса, її слід розбити на криволінійні сектори, до яких застосувати одержану формулу для знаходження площі. Так, для фігури, зображеної на рис. 182, маємо:

(рис.182)

.