9.6.2. Інтеграл від розривної функції (невласний інтеграл другого роду)

Нехай функція неперервна на проміжку і має нескінченний розрив при . Якщо існує скінчена границя , то її називають невласним інтегралом другого роду і позначають .

Таким чином, за означенням

.

Якщо границя в правій частині існує, то невласний інтеграл збіжний. Якщо ж вказана границя не існує або нескінченна, то говорять, що інтеграл розбіжний.

Аналогічно, якщо функція має нескінченний розрив в точці , то вважають .

Якщо функція має розрив у внутрішній точці відрізка , то невласний інтеграл другого роду визначається формулою .

В цьому випадку інтеграл зліва називають тим, що збіжний, якщо обидва невласні інтеграли, що стоять справа, сходяться.

У разі, коли , невласний інтеграл другого роду (розрив в точці ) можна використовувати геометрично як площу нескінченно високої криволінійної трапеції (див. рис. 173).

(рис.173)

Приклад 9.6.4. Обчислити .

○ При функція має нескінченний розрив;

, інтеграл розбіжний. ●

Сформулюємо ознаки для невласних інтегралів другого роду.

Теорема 9.6.3. Нехай на проміжку функції і неперервні при мають нескінченний розрив і задовольняють умову .

Із збіжності інтеграла витікає збіжність інтеграла, а з розбіжності інтегралавитікає розбіжність інтеграла.

Теорема 9.6.4. Нехай функції і неперервні на проміжку і в точці мають розрив. Якщо існує границя , то інтеграли і одночасно сходяться або розходяться.

Приклад 9.6.5. Чи збіжний інтеграл

○ Функція має на єдиний розрив в точці . Розглянемо функцію . Інтеграл розбіжний. І оскільки, то інтегралтакож розбіжний. ●

Тема 9.7. Геометричні і фізичні застосування визначеного інтеграла

9.7.1. Схеми застосування визначеного інтеграла

Нехай вимагається знайти значення якої-небудь геометричної або фізичної величини А (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т.д.), пов'язаної з відрізком зміни незалежної змінної. Вважається, що ця величина А адитивна, тобто така, що при розбитті відрізкаточкоюна частиниізначення величини А, відповідає всьому відрізку, рівне сумі її значень, відповіднихі.Для знаходження цієї величини А можна керуватися однією з двох схем: перша схема (або метод інтегральних сум) і друга схема (або метод диференціала).Перша схема базується на означенні визначеного інтеграла.

1. Точками розбити відрізок на частин. Відповідно до цього величина А, яка цікавить нас, розіб'ється на «елементарних доданків» _.

2. Подати кожний «елементарний доданок» у вигляді добутку деякої функції (визначуваної з умови задачі), обчисленої в довільній точці відповідного відрізка на його довжину: .

При знаходженні наближеного значення допустимі деякі спрощення:

дугу на елементарній ділянці можна замінити хордою, що стягує її кінці; змінну швидкість на елементарній ділянці можна приблизно вважати постійною і т.д.

Отримаємо наближене значення величини А у вигляді інтегральної суми:

.

3. Шукана величина А дорівнює границі інтегральної суми, тобто

.

Вказаний «метод сум», як бачимо, заснований на поданні інтеграла як суми нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.

Перша схема бала застосована для з'ясування геометричного і фізичного змісту визначеного інтеграла.

Друга схема є дещо видозміненою першою схемою і називається «метод диференціала» або «метод відкидання нескінченно малих вищих порядків»:

1. На відрізку вибираємо довільне значення і розглядаємо

змінний відрізок . На цьому відрізку величина А стає функцією, тобто вважаємо, що частина шуканої величини А є невідомою функцією, де— один з параметрів величини А;

2. Знаходимо головну частину приросту при зміні на малу

величину , тобто знаходимо диференціалфункції, де, визначена з умови задачі, функція змінної(тут також можливі різні спрощення);

3. Вважаючи, що , знаходимо шукану величину шляхом

інтегрування в межах від до :

.