
- •Міністерство освіти і науки україни
- •1. Подвійний інтеграл, його властивості. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
- •Властивості подвійного інтеграла
- •Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
- •Зразки розв’язування задач
- •Рис 1.7
- •Завдання для самостійної роботи
- •2. Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії.
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •3. Застосування подвійного інтеграла для деяких задач механіки
- •Момент інерції пластинки
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •4. Обчислення криволінійних інтегралів першого та другого роду. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування
- •Властивості криволінійних інтегралів
- •Обчислення криволінійних інтегралів першого роду за плоскою областю
- •За плоскою областю
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •5. Звичайні диференціальні рівняння. Диференціальне рівняння першого порядку.
- •Види диференціальних рівнянь першого порядку:
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Диференціальні рівняння, що припускають зниження порядку
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •7. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •8. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами із спеціальною правою частиною
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •9. Метод варіації довільних сталих.
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Література
- •Вища математика в прикладах та задачах Частина IV
- •49600, М. Дніпропетровськ – 5, пр. Гагаріна, 4
Зразки розв’язування задач
Приклад
1.
Обчислити інтеграл
,
якщо область
поширена на інтервалі
.
Розв’язання.
Шуканий інтеграл дорівнює
.
Для
функції
,
яка розглядається як функція від
при постійному
,
первісною буде функція
.
Тому
.
Шуканий подвійний інтеграл дорівнює:
.
Приклад 2. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі
Розв’язання.
Побудуємо область інтегрування D, визначивши криві та прямі, якими обмежена ця область (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Область
аналітично має вигляд:
Межі інтегрування вибираємо по змінній
,
для цього
спроектуємо область
на вісь
.
Область
проектується на відрізок
осі
.
Абсциса у цих межах змінюється від
до
.
Таким чином, змінивши порядок інтегрування,
матимемо:
.
Приклад
3. Обчислити
подвійний інтеграл
,
якщо область
обмежена кривими:
;
;
.
Розв’язання.
Область
інтегрування зображена на рис. 1.5.
Рис.1.5
Для обчислення заданого інтеграла краще скористатися формулою (1.3):
Приклад 4. Розставити границі інтегрування двома способами й обчислити подвійний інтеграл
,
якщо
область інтегрування обмежена лініями:
.
Розв’язання.
Область інтегрування зображена на рис. 1.6.
Рис. 1.6
Для обчислення заданого інтеграла скористаємось спочатку формулою (1.3.):
.
Останній
інтеграл проінтегруємо за частинами:
;
;
;
.Тоді
;
.
Якщо для обчислення даного інтеграла скористатися формулою (1.4), то
і
при
;
і
при
.
Отже, область D треба розбити на дві області, після чого маємо:
тобто ми одержали такий же результат, що й раніше.
Приклад 5. Змінити порядок інтегрування й обчислити повний інтеграл
.
Розв’язання.
Побудуємо
область інтегрування D,
яка обмежена кривою
,
прямою
та віссю
(рис.1.7.).
Рис 1.7
Спроектуємо
область D
на вісь
у відрізок
,
на якому
змінюється від
до
.
Таким чином ,
Завдання для самостійної роботи
Ι. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
ΙΙ. Обчислити подвійний інтеграл:
а)
,
б)
в)
г)
2. Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії.
У
випадку полярної
системи
координат
.
Тоді елемент площі в полярних координатах
має вигляд:
.
Подвійний інтеграл в полярній системі координат обчислюється за формулою:
(2.1)
де
і
відповідно
найменше й найбільше значення змінної
в області
і
рівняння
межі
(рис. 2.1).
Рис. 2.1
Об’єм
тіла.
Для циліндричного тіла твірні якого
паралельні осі
,
яке обмежене знизу областю
площини
,
а зверху – поверхнею
,
об’єм обчислюється за наступною
формулою:
(2.2)
де
функція
неперервна в області
.
Площа
поверхні обертання.
Якщо поверхня
проектується на площину
у вигляді області
,
то площа поверхні
обчислюється за формулою:
.
(2.3)
Площа
плоскої фігури.
Якщо
,
а
,
то циліндричне тіло, об’єм якого
обчислюється за формулою (2.2), перетворюється
в прямий циліндр з висотою, яка дорівнює
1. Об’єм такого циліндра дорівнює площі
його основи. Отже, площа області
буде обчислюватися за формулою:
.
(2.4)
Для
полярної системи координат
.