1.7. Інтегрування тригонометричних функцій

Важливе значення у прикладних питаннях деяких природничих наук мають інтеграли.

(1.16)

де m і n цілі невід’ємні числа.

Тут можливі такі випадки:

а) хоча б один із показників m або n непарне число. В цьому випадку інтеграл (1.16) знаходиться підстановкою , якщоn-непарне, і підстановкою , якщоm-непарне. Якщо ж m і n обидва непарні, то можна брати будь-яку з цих підстановок.

Приклад. Знайти інтеграл.

=.

б) обидва показники m і n парні числа. В цьому випадку інтеграл (1.16) береться за допомогою тригонометричних тотожностей пониження степеня, а саме, формул подвійного аргументу:

, ,

Приклад. Знайти інтеграл.

.

В теорії рядів Фур’є важливу роль відіграють інтеграли виду:

(1.17)

Всі ці інтеграли обчислюються на основі наступних тригонометричних формул:

,

.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

1.8. Інтегрування деяких трансцендентних функцій

Вище ми розглядали інтеграли від раціональних функцій , де зміннібули раціональні та ірраціональні вирази або функції. Важливим є клас інтегралів від раціональних функцій, змінними в яких є деякі трансцендентні функції. Розглянемо такі інтеграли.

1. . Цей інтеграл раціоналізується до алгебраїчного виду підстановкою. Звідси. Таким чином.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

2. Інтеграл - зводиться до раціонального алгебраїчного виду підстановкою. Звідси,,. В результаті одержується.

Приклад. Знайти інтеграл.

=.

Зауваження. Підстановка дає можливість звести до раціонального алгебраїчного виду інтеграл (1.16) у тому випадку, коли хоча б один, або обидва показникиm і n від’ємні.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

Інтеграл виду зводиться до раціонального алгебраїчного виду універсальною підстановкою. Звідси,,,.

Отже .

Назва універсальна підстановка говорить про те, що вона може бути застосована при знаходженні інтеграла від будь-яких співвідношень тригонометричних функцій і. Однако, найбільш ефективною вона є в тих випадках, коли функціїімають перші степені і представлені у вигляді суми чи різниці. Застосування цієї підстановки до випадків, колиімають парні степені приводить до раціональних дробів з високими степенями. Тому, в таких випадках краще застосовувати підстановку, або якусь іншу.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

4. Інтеграл виду підстановкоюзводиться до одного із таких інтегралів:

а) ; б); в)які в свою чергу, підстановками відповідно,,зводиться до інтегралів виду.

Приклад. Знайти інтеграл.

2. Визначений інтеграл

2.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

Нехай функція неперервна на відрізкупричомуі. Фігура , що обмежена кривою, віссю ОХ та ординатаминазивається криволінійною трапецією.

Нехай S-площа (рис 1). Розіб’ємо відрізокнап- довільних частин точками і в точкахпроведемо ординати до перетину із кривою. Тоді криволінійна трапеція розіб’ється нап полосок, кожну з яких можна вважати за прямокутник з основою . У кожному із проміжківвізьмемо точку, а значенняприймемо за висоту відповідного прямокутника. Тоді площа такого прямокутника буде рівна, а площа ступінчатої фігури, що складається ізтаких прямокутників, буде

, або

(2.1)

де - означає знак сумування.

Сума із (2.1) називається інтегральною сумою для функції. Очевидно, що приівсі прямокутникиграниці будуть прямувати до ординат функції, а сума- площі. Отже, має місце твердження.

Якщо при ііснує скінченна границя інтегральної суми(2.1), яка не залежить від розбиття відрізка та вибору точок, тоця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку , тобто

.

Але, оскільки , то звідси випливаєгеометричний зміст визначеного інтеграла, а саме: визначений інтеграл від невід‘ємної функції на відрізку дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (в даному випадку), тобто

(2.2)