4.6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння виду

(4.11)

де та- дійсні числа.

Розв‘язок цього рівняння шукається у вигляді

(4.12)

де - число (дійсне чи комплексне), яке визначається в процесі розв‘язку.

Підставляючи замістьу рівняння, ми отримаємо

або .

Оскільки , то дане рівняння буде дорівнювати нулю тоді і лише тоді, коли

(4.13)

.Рівняння називають характеристичним рівнянням, а його корені – мають вигляд.

Відмітимо, що характеристичне рівняння досить просто складається виходячи із заданого диференціального рівняння. Для цього досить замінити похідні відповідними степенями (вважаючи, що функція є похідна нульового степеня). Так, наприклад, для рівняння

характеристичним рівнянням буде

.

Структура фундаментальної системи розв‘язків, а разом з тим і структура загального розв‘язку рівняння (4.11) залежить від вигляду коренів його характеристичного рівняння (4.13).

Розглянемо різні випадки коренів характеристичного рівняння.

1. , тобто корені дійсні різні

,. Тоді, підставляючи у формулу (4.12) замість числаі, отримаємо два частинні розв‘язки рівняння (4.11):

, , що є лінійно незалежні (оскількине є сталою величиною) і утворюють фундаментальну систему розв‘язків; тоді, внаслідок теореми про загальний розв‘язок однорідного лінійного диференціального рівняння) загальний розв‘язок буде мати такий вигляд:

.

Приклад.

Розв‘язати рівняння .

Складаємо характеристичне рівняння:

.

Шукаємо його корені:

; ;.

Корені дійсні і різні, отже, фундаментальна система розв‘язків буде такою: ;; а загальний розв‘язок прийме такий вигляд:

,

де - деякі довільні сталі.

2. , тобто корені характеристичного рівняння дійсні кратні

.

Тоді можна показати, що фундаментальна система розв‘язків складається з таких функцій:

; ;

а загальний розв‘язок записується так:

.

Приклад. .

Характеристичне рівняння:

.

; .

Загальний розв‘язок: .

3. , тобто характеристичне рівняння не має дійсних коренів.

Для знаходження розв‘язку в цьому випадку використовуються комплексні числа.

Комплексним числом називається вираз виду , дета- дійсні числа, а- уявна одиниця:,. Тоді, наприклад, коренізапишуться так:, причому для розв‘язку можна брати корінь як зі знаком „+”, так і зі знаком „-”. Підставляючи таке комплексне значенняв формулу (4.12), ми отримаємо такий розв‘язок(за формулою Ейлера).

Відділяючи в отриманому розв‘язкові дійсну та уявну частини, отримаємо два дійсні частинні розв‘язки:

, .

Вони лінійно незалежні, оскільки

,

і утворюють фундаментальну систему розв‘язків. Отже, загальний розв‘язок має такий вигляд:

Приклад. .

Характеристичне рівняння:

.

; ;

Загальний розв‘язок: .

4.7. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо неоднорідне рівняння

(4.14)

і відповідне йому однорідне

(4.15)

Будемо шукати загальний розв‘язок у рівняння (4.14). Згідно теореми про загальний розв‘язок неоднорідного рівняння, він буде складатися із суми загального розв‘язку однорідного рівняння (4.15) і будь-якого частинного розв‘язкунеоднорідного рівняння (4.14), тобто. Методи знаходження загального розв‘язку однорідного рівняння розглянуті в попередньому параграфі. Знаходження частинного розв‘язку неоднорідного рівняння в загальному випадку дуже часто приводить до складних обчислень. Проте для рівняння з постійними коефіцієнтами у випадках, коли права частина має спеціальний вид, частинний розв‘язок вдається знайти методом невизначених коефіцієнтів, не звертаючись до квадратур.

Розглянемо деякі частинні випадки вигляду правої частини неоднорідного рівняння.

1. Права частина рівняння (4.14) має вигляд

де є многочлен степені, тобто, де- дійсні числа і. Тоді частинний розв‘язок шукається у вигляді

де - многочлен степеніз невизначеними коефіцієнтами. (Підкреслимо, що в цьому многочлені записуються всі коефіцієнтинезалежно від того, дорівнюють чи ні нулеві відповідні коефіцієнтизаданого многочлена).

Показник степені дорівнює кратності коренів характеристичного рівняння.

Якщо , то.

Якщо іабото.

Якщо , то.

Підставляючи побудований частинний розв‘язок у вихідне рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при відповідних степенях зліва і справа від знака рівності, знаходимо коефіцієнти.

Приклад. Знайти загальний розв‘язок рівняння

(4.16)

Розв‘язання.

Розглядаємо відповідне одноріднє рівняння і шукаємо його загальний розв‘язок:

.

Складаємо характеристичне рівняння:

.

; ;;.

Записуємо загальний розв‘язок однорідного рівняння:

.

Шукаємо частинний розв‘язок неоднорідного рівняння, виходячи з правої частини (4.16). Оскільки справа максимальна степінь друга, то частинний розв‘язок записуємо у вигляді многочлена другого порядку з невизначеними коефіцієнтами:

, ,

де - невідомі коефіцієнти. Щоб їх визначити, знайдемо першу та другу похідні частинного розв‘язку і підставимо їх у рівняння (4.16):

;

;

;

Підставляємо ці значення в ліву частину рівняння (4.16)

.

Щоб знайти та, прирівнюємо коефіцієнти при відповідних степеняхзліва і справа від знака рівності:

Розв‘язуючи цю систему рівнянь, отримуємо ;;, звідки записуємо частинний розв‘язок неоднорідного рівняння.

Загальний розв‘язок неоднорідного рівняння буде мати такий вид:

.

1. Права частина рівняння (4.14) має вигляд

де тадеякі дійсні числа.

Можливі два випадки:

а. Якщо число не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв‘язок має такий вигляд:

де - невідома стала.

б. Якщо число є коренем характеристичного рівняння кратності, то

(тобто в частинному розв‘язку з‘являється додатковий множник ).

Приклад 1.

: ;.

Знаходимо загальний розв‘язок однорідного рівняння: .

.

: ;.

:

не співпадає ні з , ні з, отже, частинний розв‘язок шукаємо у вигляді

;

; .

Підставляємо ці значення у вихідне рівняння:

;

, звідки

;

.

Приклад 2.

: ;.

; .

; .

Число є двократним коренем характеристичного рівняння, тому частинний розв‘язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

;

;

.

Підставляємо знайдені значення у вихідне рівняння

;

. Отже, частинний розв‘язок має такий вигляд: ; а загальний записується так:.

2. Права частина рівняння (4.14) має вигляд

,

де та- дійсні числа,.

Складаємо комплексне число . Вигляд частинного розв‘язку рівняння (4.14) буде залежати від того, співпадає чи ні отриманез коренем характеристичного рівняння.

а) Якщо число не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв‘язок шукаємо у вигляді

де та- невизначені коефіцієнти (відмітимо, що у частинному розв‘язку необхідно завжди брати обидва коефіцієнти, навіть у тому випадку, коли в правій частині (4.14)читотожньо дорівнюють нулеві).

в) Якщо число є корінь характеристичного рівняння кратності, то частинний розв‘язок шукається у вигляді

.

Приклад 1.

.

В цьому рівнянні ,,,,.

Складаємо характеристичне рівняння:

; ;;;

.

Оскільки побудоване не співпадає ні з, ні з, то частинний розв‘язок шукаємо у вигляді,

де та- невизначені коефіцієнти.

Для їх визначення підставляємо ,тау вихідне рівняння.

.

Зводимо подібні члени:

.

Прирівнюємо коефіцієнти при та:

: Підставляємо А та В у частинний розв‘язок:

.

Загальний розв‘язок:

.

Приклад 2.

;

Перепишемо це рівняння так:

.

Звідси маємо: ;;;;.

Складаємо характеристичне рівняння:

; ;;;.

Записуємо загальний розв‘язок однорідного рівняння: .

Оскільки співпадає з(є однократним коренем характеристичного рівняння), то частинний розв‘язок шукаємо у вигляді

.

.

.

Підставляємо у рівняння та:

.

;

Записуємо частинний розв‘зок:

Загальний розв‘язок:

.

Примітка. Розглянуті варіанти різних виразів правої частини рівняння (4.14) є частинними випадками функції виду

(4.15)

де та- дійсні числа,та- многочлени степенівтавідповідно.

Можна показати, що частинний розв‘язок рівняння (4.14) з правою частиною (4.15) слід шукати у вигляді

(4.16)

де - кратність кореняхарактеристичного многочлена,та- многочлени з невизначеними коефіцієнтами, степінь яких дорівнює найбільшому із степенів многочленівта. Коефіцієнти многочленівтазнаходяться з системи лінійних рівнянь, що отримується після підстановки розв‘язку (4.16) та його похідних у вихідне рівняння (4.14).