10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшогоі найменшогозначень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.

Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функціїполягає в наступному:

1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;

3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше.

Приклад 2. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:

, , , (див. рис. 7).

 Тут

1. Знаходимо всі критичні точки:

Рис. 7

Розв’язком системи є точки

Жодна із знайдених точок не належить області.

2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок (рис. 212).

На ділянці :,, де

, ,. Значення функції ,.

На ділянці :

, , де ,

, . Значення функції ,.

На ділянці :,

; ;. Значення функції

На ділянці : ,

Значення функції

3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а

