Для распределенных токов

Для случая, когда источником магнитного поля являются распределенные токи, характеризуемые полем вектора плотности тока j, формула закона Био — Савара принимает вид (в системе СИ):

где j = j(r), dV - элемент объема, а интегрирование производится по всему пространству (или по всем его областям, где j≠0), r - соответствует текущей точке при интегрировании (положению элемента dV).

Векторный потенциал:

2)

Зако́н Ампе́ра  — закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 для постоянного тока. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Выражение для силы , с которой магнитное поле действует на элемент объёмапроводника с током плотности, находящегося в магнитном поле с индукцией, вМеждународной системе единиц (СИ) имеет вид:

.

Если ток течёт по тонкому проводнику, то , где— «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равныйи совпадающий по направлению с током. Тогда предыдущее равенство можно переписать следующим образом:

Сила , с которой магнитное поле действует на элементпроводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе токав проводнике ивекторному произведению элемента длины проводника на магнитную индукцию:

Направление силы определяется по правилу вычислениявекторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.

Модуль силы Ампера можно найти по формуле:

где — угол между векторами магнитной индукции и тока.

Сила максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции ():

6.Уметь выводить формулы индукции магнитного поля:

а) в центре кругового тока;

 2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как видно из рисунка, каждый элемент кругового проводника с током создает в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка. Значит, сложение векторов dB также можно заменить сложением их модулей. Поскольку расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R и все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sinα=1), то, используя (2),    Тогда    Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током   

б) на оси кругового тока;

    Рассмотрим поле, создаваемое током I, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (рис. 1.7).

Рис. 1.7

      Определим магнитную индукцию на оси проводника с током на расстоянии х от плоскости кругового тока. Векторы перпендикулярны плоскостям, проходящим через соответствующиеи. Следовательно, они образуют симметричный конический веер. Из соображения симметрии видно, что результирующий векторнаправлен вдоль оси кругового тока. Каждый из вектороввносит вклад равный, авзаимно уничтожаются. Но,, а т.к. угол междуиα – прямой, тотогда получим

,

(1.6.1)

      Подставив в (1.6.1) и, проинтегрировав по всему контуру, получим выражение для нахождениямагнитной индукции кругового тока:

,

(1.6.2)

При , получиммагнитную индукцию в центре кругового тока:

,

(1.6.3)

      Заметим, что в числителе (1.6.2)   – магнитный момент контура. Тогда, на большом расстоянии от контура, при, магнитную индукцию можно рассчитать по формуле:

,

(1.6.4)

      Силовые линии магнитного поля кругового тока хорошо видны в опыте с железными опилками (рис. 1.8).

      

Рис. 1.8

в) прямолинейного проводника с током (бесконечно длинного и конечных размеров).

Рассчитаем индукцию магнитного поля В, создаваемую в точке А (рис. 2.2) на расстоянии r₀ от прямолинейного проводника с током:

 

 

 

 

               (2.4)

 

 

Выразим переменные и. Из рис. 2.2 видно, что . Дифференцируя это выражение, получаем:

 

.

 

Из рис. 2.2 так же следует, что 

.

 

Подставляя значения иr в уравнение (2.4), имеем:

 

 

.                           (2.5)

 

Для бесконечно длинного прямолинейного проводника (₁ = 0, ₂ = ) уравнение (2.5) принимает вид:

 

 .