Лабораторная работа.

Определение момента инерции маятника Максвелла.

Цель работы: используя закон сохранения энергии определить момент инерции кольца по результатам эксперимента и сравнить полученные результаты с теоретическими значениями.

Приборы: 1. Маятник Максвелла FPM–03.

2. Набор колец (4шт.).

1. Краткая теория.

   1. Энергия вращающегося абсолютно твердого тела (а.Т.Т.).

Рассмотрим а.т.т. вращающееся вокруг произвольной неподвижной оси Z. Мысленно разобьем все тело массой m на элементарные массы ∆m_i (), находящиеся, соответственно, на расстоянияхr_i от оси вращения (рис.1).

При вращении тела, элементарные массы будут описывать окружности различных радиусов. Кинетическая энергия (W_ki) каждой элементарной массы определится по формуле (1):

(1)

где – линейная скоростьi – ой элементарной массы.

Линейная скорость

определяется длиной дуги , которую будет описывать каждая частица за время, а т.к. длина дуги частиц зависит от расстояниядо оси вращения, то линейные скоростибудут различны, но одинаковы угловые скорости

где - угловое перемещение.

Используя формулу связи угловой и линейной скорости

выразим кинетическую энергию элементарной массы через угловую скорость

(2)

Кинетическая энергия всего твердого тела, будет равна сумме кинетических энергий элементарных масс (3).

(3)

Сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния их до оси вращения называется моментом инерции тала – J (4).

(4)

Момент инерции тела характеризует массу тела с учетом распределения элементарных масс в пространстве (формы тела) относительно оси вращения.

Подставляя формулу (4) в (3) получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

.

(5)

Если, вращающееся а.т.т. одновременно перемещается в пространстве, то такое движение тела можно представить как сумму поступательного движения центра масс и вращательного движения с угловой скоростьюоколо мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс. Абсолютная скорость частицбудет складываться из скорости движения центра масс и относительной скорости вращения частиц

, но

Таким образом:

(6)

Подставляя равенство (6) в уравнение (1) и суммируя элементарные массы, получим:

(7)

Преобразуем уравнение (7):

(8)

В формуле (8) первое слагаемое определяет кинетическую энергию поступательно движущегося а.т.т.:

(9)

Второе слагаемое – кинетическую энергию а.т.т., вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс:

(10)

Третье слагаемое перепишем в виде:

.

Если ось вращения проходит через центр масс, то для центра масс сумма,

(11)

и третье слагаемое будет равно нулю.

Учитывая формулы (8 – 11), получим:

(12)

Кинетическая энергия а.т.т., движущегося поступательно и вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс, равна кинетической энергии тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс плюс кинетическая энергия поступательного движения тела.

Если тело движется в силовом поле, то оно обладает и потенциальной энергией. Тогда полная энергия тела

и по закону сохранения энергии, она является постоянной величиной.