4. Задания для самостоятельной работы

4.1. Порождение подмножеств

1. Реализовать алгоритмы 1⁸.

2. Реализовать алгоритм 2.

3. Сравнить время работы алгоритмов 1 и 2⁹. Построить графики временной зависимости для алгоритмов 1 и 2.

4. Реализовать, алгоритм 3.

5. Подготовить ответы на следующие контрольные вопросы:

• понятие множества, подмножества, мощности конечного множества, мультимножества.

• способы задания множеств.

• теорема о числе подмножеств конечного множества.

• общие подходы к порождению комбинаторных объектов.

• понятие кода Грея. Рекурсивное определение двоично-отраженного кода Грея и его последовательности переходов.

4.2. Порождение перестановок

1. Реализовать алгоритм 6.

2. Реализовать алгоритм 7.

3. Сравнить время работы алгоритмов 6 и 7. Построить графики временной зависимости для алгоритмов 6 и 7.

4. Реализовать алгоритм 8.

5. Подготовить ответы на следующие контрольные вопросы:

• понятие перестановки. Теорема о числе перестановок n-элементного множества.

• понятие перестановки с повторениями. Теорема о числе таких перестановок.

• понятие последовательности перестановок в лексикографическом порядке.

• понятие последовательности перестановок в порядке минимального изменения. Рекурсивное определение такой последовательности.

4.3. Порождение сочетаний и размещений

1. Реализовать алгоритм 4.

2. Реализовать алгоритм 5.

3. Разработать и реализовать алгоритм порождения размещений.

4. Подготовить ответы на следующие контрольные вопросы:

• понятие сочетания. Теорема о числе сочетаний из n элементов по k. Свойства сочетаний.

• понятие сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетания с повторениями. Предложить алгоритм генерации таких сочетаний.

• понятие последовательности сочетаний в возрастающем лексикографическом порядке.

• требования к алгоритмам генерации случайных комбинаторных конфигураций.

• понятие размещения. Теорема о числе размещений.

4.4. Порождение композиций и разбиений

1. Разработать и реализовать алгоритм порождения композиций n.

2. Разработать и реализовать алгоритм порождения композиций n из k частей, если слагаемые натуральные числа (р_i>0).

3. Разработать и реализовать алгоритм порождения композиций n из k частей, если слагаемые целые неотрицательные числа (р_i0).

4. Реализовать алгоритм 9.

5. Подготовить ответы на следующие контрольные вопросы:

• понятие композиции.

• теорема о числе композиций n.

• теорема о числе композиций n из k частей при р_i>0.

• теорема о числе композиций n из k частей при р_i0. Связь таких композиция с сочетаниями с повторениями.

• понятие разбиения и его отличие от композиции.

• понятие последовательности разбиений в словарном порядке.

4.5. Решение комбинаторных задач

Решить задачи, указанные преподавателем.

1. На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? (Ответ: 49).

2. На вершину горы ведет n дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск должен осуществляться различными дорогами? (Ответ: n(n-1)).

3. Сколькими способами можно разложить n различных шаров по m различным урнам. (Ответ: mⁿ).

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5? (Ответ: 125).

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза? (Ответ: 60).

6. Найти количество чисел от 0 до 999999, в записи которых встречается «1», и в записи которых ее нет. (Ответ: 468559, 531441).

7. Сколько существует чисел от 0 до 999999, в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры? (Ответ: 597871).

8. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5? (Ответ: 18000).

9. Сколько имеется двузначных чисел, у которых обе цифры четные? (Ответ: 20).

10. Сколько имеется пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные? (Ответ: 3125).

11. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть автоматическую камеру хранения с пятизначным номером? (Ответ: 100000).

12. Человек забыл пятизначный номер автоматической камеры хранения. Он только помнит, что в номере были числа 17 и 78. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру? (Ответ: 60).

13. Сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник? (Ответ: n(n-3)/2).

14. Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества {0,1}. (Ответ: 2^mn).

15. В комнате 6 лампочек, каждая имеет свой выключатель, сколькими способами можно осветить комнату? (Ответ: 63).

16. Сколькими способами можно усадить 7 гостей на 7 стульях? (Ответ:5040).

17. Сколькими способами можно разместить в аудитории 10 человек, если есть 10 мест? (Ответ:3628800).

18. Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых данные m элементов не стоят рядом в любом порядке? (Ответ: n!-m!(n-m+1)!).

19. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? (Ответ: 2(n!)²).

20. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? (Ответ: 45).

21. На плоскости поставили 5 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько всего отрезков получилось? (Ответ: 10).

22. На плоскости поставили n точек. Каждые две точки соединили направленным отрезком. Сколько направленных отрезков получилось? (Ответ: n!/(n-2)!).

23. В группе из 30 студентов каждый пожал руку всем остальным. Сколько было рукопожатий? (Ответ: 435).

24. Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества {0,1} при условии, что строки каждой матрицы должны быть попарно различны. (Ответ: ).

25. Сколькими способами можно избрать президиум для ведения собрания в группе из 25 человек, если в президиум входят: председатель, секретарь и член президиума? (Ответ:13800).

26. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два? (Ответ: 30).

27. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки различные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник? (Ответ: 151200).

28. У англичан принято давать детям несколько имен. Два способа, различающиеся лишь порядком имен, считаются различными. Пусть ребенку дают не более трех имен, а общее число имен равно 300. Сколькими способами можно назвать ребенка, если все данные ему имена различны, и если имена могут повторяться? (Ответ: 26820600, 27090300).

29. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «мама»? (Ответ: 6).

30. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»? (Ответ: 389188800).

31. Для премирования трех студентов купили 12 различных книг. Сколько возможных способов распределения книг по 4 каждому студенту? (Ответ: 34650).

32. Сколькими способами множество из n элементов может быть разбито на m подмножеств, из которых первое содержит k₁ элементов, второе k₂ и т.д. (Ответ: n!/(k₁!k₂!...k_m!)).

33. Сколькими способами можно разложить n=k₁+k₂+...+k_m различных шаров по m различным урнам так, чтобы в первую урну попало k₁ шаров, во вторую – k₂ и т.д., в m-ю – k_m шаров? (Ответ: n!/(k₁!k₂!...k_m!)).

34. Найти число способов размещения n различных шаров по m различным урнам так, чтобы m₁ урн содержали по p₁ шаров, m₂ – по p₂ и т.д., m_k урн по p_k шаров (m=m₁+m₂+...+m_k, n=m₁p₁+m₂p₂+...+m_kp_k). (Ответ: ).

35. Найти число способов размещения n различных шаров по m урнам так, чтобы m₁ урн содержали по p₁ шаров, m₂ – по p₂ и т.д., m_k урн по p_k шаров (m=m₁+m₂+...+m_k, n=m₁p₁+m₂p₂+...+m_kp_k), если урны, содержащие одинаковое число шаров неразличимы. (Ответ: ).

36. Дано m предметов одного сорта и n предметов другого. Найти число выборок, составленных из r предметов одного сорта и s – другого. (Ответ: ).

37. В группе из 22 студентов 6 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать 5 человек так, чтобы среди них были 2 девушки и 3 юноши? (Ответ: 8400).

38. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов? (Ответ: ).

39. Коалиции A и B ведут войну между собой; n нейтральных государств находятся в нерешительности, причем p из них не присоединяются к A, а k не присоединяются к B. Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости от дальнейшего поведения нейтральных государств. (Ответ: 2^k2^p3^n-k-p-1).

40. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу, т.е. на них должны быть одинаковые числа? (Ответ: 147).

41. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не атаковали друг друга, т.е. чтобы никакие две ладьи не стояли на одной вертикали или горизонтали? (Ответ: 40320).

42. Пронумеруем слева направо первый горизонтальный ряд клеток шахматной доски числами от 1 до 8, второй – от 9 до 16 и т.д. Докажите, что сумма номеров клеток, на которых стоят 8 ладей, не атакующих друг друга всегда равна 260.

43. Пусть L=(m,n) – точка с натуральными координатами на целочисленной решетке. Найти число «монотонных» траекторий, ведущих из начала координат в точку L. Под монотонной понимается траектория, на каждом шаге которой можно идти либо вправо, либо вверх. (Ответ: ).

44. Пусть в предыдущей задаче m=nk (k – целое). Во сколько раз «монотонных» траекторий, у которых первое звено лежит на оси 0X больше чем траекторий, у которых первое звено лежит на оси 0Y? (Ответ: в k раз).

45. Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными), если каждое слагаемое является целым неотрицательным числом? (Ответ: ).

46. Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными), если каждое слагаемое является натуральным числом? (Ответ: ).

47. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом? (Ответ: ).

48. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза? (Ответ: а)б)в)г)).

49. Рассмотрим 8 классов графов с отмеченными вершинами. Каждый из этих классов определяется параметрами ,,{0,1}. Элементы класса (,,) будем называть (,,)-графами. При этом, если =0, то рассматриваются графы без петель, если =1, то петли допускаются. Ели =0, то рассматриваются графы без параллельных ребер, если =1, то параллельные ребра допускаются. Если =0, то рассматриваются неориентированные графы, если =1, то рассматриваются ориентированные графы. Обозначим g_,,(n,k) число (,,)-графов с n вершинами и k ребрами.

Докажите, что

50. Исходя из комбинаторных соображений, доказать, что следующие числа целые: ,.