1.4. Алгоритмы порождения сочетаний

Без ограничения общности можно полагать, что элементами множества являются целые числа от 1 да n.

Рассмотрим алгоритм порождения сочетаний в возрастающем лексикографическом порядке, т.е. в порядке, когда в каждом сочетании элементы расположены в порядке возрастания слева направо. Например, сочетания из шести элементов по три (), в возрастающем лексикографическом порядке запишутся следующим образом:

123 135 234 256

124 136 235 345

125 145 236 346

126 146 245 356

134 156 246 456

Сочетания в лексикографическом порядке можно порождать следующим образом. Начиная с сочетания (1,2,...,k), следующее сочетание находится просмотром текущего сочетания справа налево с тем, чтобы определить место самого правого элемента, который не достиг еще своего максимального значения. Этот элемент увеличивается на единицу, и всем элементам справа от него присваиваются новые наименьшие возможные значения как показано в алгоритме 4.

Эффективный метод порождения случайных сочетаний из n по k осуществляют случайные перестановки на первых k местах множества, например, такие, как в алгоритме 5.⁵

1.5. Алгоритмы порождения перестановок

Также как и при генерации сочетания будем считать, что элементами множества являются целые числа от 1 до n.

Последовательность перестановок на множестве {1,2,...,n} представлена в лексикографическом порядке, если она записана в порядке возрастания получающихся чисел. Например, лексикографическая последовательность перестановок трех элементов имеет вид 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Порождать такую последовательность можно следующим образом. Начиная с перестановки Р=(1,2,...,n), переходим к следующей, путем просмотра текущей справа налево с целью поиска самой правой позиции, в которой р_i<р_i+1. Найдя ее, ищем р_j, наименьший элемент, расположенный справа от р_i и больше его. Затем осуществляется транспозиция элементов р_i и p_j и отрезок р_i+1,...,р_n (элементы которого расположены в порядке убывания) переворачивается. Например, для n=8 имеем текущую перестановку p=(2,6,5,8,7,4,3,1), тогда р_i=5 (i=3) и р_j=7 (j=5). Меняя их местами и переворачивая p₄,p₅,p₆,p₇,p₈, получаем следующую перестановку (2,6,7,1,3,4,5,8). Эту процедуру реализует алгоритм 6.

Рассмотрим еще один алгоритм порождения перестановок. Этот алгоритм генерирует перестановки в порядке минимального изменения, т.е. перестановка отличается от предшествующей транспозицией двух соседних элементов.

Такую последовательность перестановок можно построить рекурсивно. Для n=1 существует единственная перестановка (1). Предположим, что построена последовательность перестановок П₁,П₂,...,П_(n-1)! на множестве {1,2,...,n-1} в порядке минимального изменения.

Расширим каждую из (n-1)! этих перестановок путем вставки элемента n на каждое из n возможных мест. Причем, элемент n добавляется к П_i последовательно во все позиции справа налево, если i нечетное, и слева направо, если i четное. Пример такого расширения представлен на рис .2.

Эту же последовательность перестановок можно порождать итеративно, получая каждую перестановку из предшествующей и добавочной информации. Это делается с помощью трех векторов: текущей перестановки Р=(р₁,...,р_n), обратной к ней перестановки0=(о₁,...,о_n)⁶(о₁- индекс наименьшего элемента вР,о₂- индекс следующего по величине элемента вРи т.д., следовательно,) и записи направленияD=(d₁,...,d_n), в котором сдвигаются элементы перестановки (d_i=-1, еслиp_iсдвигается влево,d_i=1 - вправо,d_i=0 - не сдвигается). Элемент сдвигается до тех пор, пока не достигнет элемента большего чем он сам; в этом случае сдвиг прекращается. В этот момент направление сдвига данного элемента изменяется на противоположное и передвигается следующий меньший его элемент, который можно сдвинуть. Поскольку хранится перестановка, обратная кР, то вРлегко найти место следующего меньшего элемента. Эту процедуру реализует алгоритм 7.

Заметим, что в алгоритме 7 Р₀ и P_n+1 инициализируются величиной n+1, чтобы прекратить передвижение n, и d₁ инициализируется нулем, чтобы в тех случаях, когда m становятся равным единице во внутреннем цикле, остаток внешнего цикла был правильно определен.

Алгоритм порождения случайных перестановок (алгоритм 8) аналогичен алгоритму порождения случайных сочетаний (алгоритм 5).