1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011.

Таким образом, каждому сочетанию из m по n соответствует последовательность из n единиц и m-1 нулей. Число таких последовательностей равно числу способов, которыми можно выбрать m-1 мест для нулей из n+m-1 общего числа мест (), или то же самое числу способов выбораn мест для единиц из n+m-1 мест (). Равенство следует из равенства .

Композиции и разбиения. Пусть стоит задача порождения разбиения положительного числа n в последовательность неотрицательных целых чисел {p₁,p₂,…,p_k}, так что p₁+p₂+…+p_k=n причем на р_i могут накладываться различные ограничения.

Если порядок чисел р_i важен, то (p₁,p₂,…,p_k) называется ком­позицией n. Поиск композиций ведется с ограничением р_i>0.

Если k фиксировано, то такие композиции называются композициями n из k частей. При их поиске ограничение р_i>0 может сниматься, т.е. разрешается р_i=0.

Если порядок р_i не важен и р_i>0, то {p₁,p₂,…,p_k} является мультимножеством и называется разбиением n.

Поясним различие между композициями, композициями из k частей и разбиениями на следующем примере:

n=3,

композиции: (3), (1,2), (2,1), (1,1,1),

композиции из двух частей (р_i>0): (1,2), (2,1),

композиции из двух частей (р_i0): (0,3), (1,2), (2,1), (3,0),

разбиения: {3}, {1,2}, {1,1,1}.

Теорема. Число композиций n равно 2^n-1.

Доказательство. Разделим отрезок длины n на n отрезков единич­ной длины с помощью (n-1) точки. Тогда композиции n взаимно однозначно соответствует пометка некоторых из точек разделения. Элемен­тами композиции в этом случае будет расстояние между смежными точками. Например, композиция (2,2,1), n=5 представлена на рис.1.

Следовательно, каждая композиция nсоответствует способу выбора подмножества из (n-1) точек. То есть число композицийnравно 2^n-1.

Теорема. Число композицийnизkчастей с ограничениемр_i>0 равно.

Доказательство. Представим композицию также как при доказательстве предыдущей теоремы. Каждая композицияnизkчастей (р_i>0) соответствует способу выбора (k-1)-элементного подмножества точек изn-1 точек. То есть число таких композиций равно.

Теорема. Число композиций n из k частей, если p_i0 равно .

Доказательство. Каждой композицииnизkчастей прир_i0 взаимно однозначно соответствует двоичный набор, такой, что первое слагаемое равно числу единиц, стоящих перед первым нулем в наборе, второе -числу единиц, стоящих перед первым и вторым нулями, и т.д. Пример такого представления композицииn=4,k=3 приведен в табл.1.

Длина набора равна n+k-1,число нулей равноk-1,следовательно, число наборов (искомых композиций) равно числу способов выбораk-1 мест для нулей изn+k-1 мест ()или тоже самое числу способов выбораnмест для единиц изn+k-1 мест ().

Таблица 1.

№	Композиция	Двоичный набор	Сочетание из 6 по 2
1	0+0+4	0 0 1 1 1 1	1 2
2	0+1+З	0 1 0 1 1 1	1 3
3	0+2+2	0 1 1 0 1 1	1 4
...	...	...	...
13	3+0+1	1 1 1 0 0 1	4 5
14	3+1+0	1 1 1 0 1 0	4 6
15	4+0+0	1 1 1 1 0 0	5 6

Доказательство данной теоремы можно было также получить путем установки взаимно однозначного соответствия между данными композициями и множеством всех сочетания из k элементов по n с повторениями.