7. Краевые задачи проектирования

Проектирование многих технических объектов свя­зано с необходимостью анализа непрерывных физиче­ских процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных произ­водных. Примером тому служат современные летательные аппараты, при проектировании и расчете которых широко используется анализ подобных моделей.

Примеры уравнений, составляющих основу моделей объектов на микроуровне. Первая важная задача проектирования летательного аппарата — определение прочности узлов и элементов конструкции при различных видах нагружения. Поэтому исследование напряженного состояния деталей конструкции и связан­ные с ним расчеты на прочность относятся к наиболее ответственным в самолетостроении.

Напряженное состояние деталей конструкции в за­висимости от геометрии исследуемого узла, вида при­ложенной нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными уравнениями различного вида. Лю­бое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармонического уравнения

(2.1.) где х, у, z — пространственные координаты; φ — искомая непрерывная функция; К_х, К_у,K_z — коэффициенты; Q— внешнее воздействие. В двухмерном случае при К_х = К_у=1 уравнение (2.1) сводится к уравнению, описывающему напряженное состояние, возникающее в поперечном сечении упругого однородного стержня под воздействием крутящего мо­мента М:

д²φ/дх² + д²φ/ду² + 2Еθ = 0, (2.2)

где Е — модуль сдвига материала стержня; θ — угол закручивания на единицу длины, а функция φ — функ­ция, связанная с напряжениями сдвига τ_х и τ_у уравне­ниями

τ_х = дφ/ду; τ_у = дφ/дх. (2.3)

В (1.2) в явном виде не входит крутящий момент, связанный с искомой функцией напряжения φ уравне­нием

М = 2 ,

где S — площадь рассматриваемого сечения.

Вторая важная задача проектирова­ния летательного аппарата — изучение его аэродинами­ческих свойств. Решение этой задачи связано с исследо­ванием процессов обтекания газом поверхностей произ­вольной формы. Наиболее общими уравнениями, описы­вающими этот процесс, являются уравнения Навье — Стокса, которые в декартовой системе координат имеют вид

(2.4)

где и, v, ω— проекции вектора скорости; F_х , F_y ,F_z — проекции вектора силы на оси координат; ρ — плотность; р — давление; v = μ/ ρ(коэффициент вязкости).

Третья задача проектирования лета­тельных аппаратов — расчет тепловых режимов работы деталей и узлов конструкции. Одним из основных аспек­тов задачи является определение температурных полей, имеющих место в конструкциях.

Примечание. Знание температурных полей необходимо для вычисления количества теплоты, подводимой к телу или отводи­мой от него. Кроме того, температурные поля влияют на рас­пределение напряжений в конструкциях. Это обстоятельство особенно важно учитывать при проектировании вращающихся элементов летательных аппаратов.

Температурное поле в сплошной среде описывается уравнением теплопроводности. Последнее может быть получено из уравнения (1.1), если под функцией φ по­нимать температуру Т, а под коэффициентом К — коэф­фициент теплопроводности λ. Так, в двухмерном случае при условии, что коэффициенты теплопроводности λ_х и λ_у по соответствующим направлениям не зависят от координат, стационарное уравнение теплопроводности имеет вид

(2.5)

где Q — источник теплоты внутри тела, который счи­тается положительным, если теплота подводится к телу. Сформулированные выше задачи — типичные для многих областей техники. Так, задачу исследования ме­ханических напряжений, возникающих в конструкциях, необходимо решать при проектировании мостов, арок, опор электропередачи и т. д. Рост быстроходности и удельной мощности тепловых двигателей вызывает не­обходимость более тщательного, чем ранее, исследования проблем механической прочности и тепловых режимов работы их деталей. Аналогичные проблемы возникают в автомобиле и турбиностроении. Проектирование дамб, плотин, дренажных и оросительных каналов невозможно без тщательного анализа течения грунтовых вод. Пос­ледняя задача является частным случаем сформулиро­ванной выше задачи о течении жидкостей и газов. В градостроительстве при проектировании системы водо­снабжения городов необходим анализ течения грунто­вых вод.

Анализ течения жидкого или газообразного тепло­носителя на основе уравнений Навье — Стокса прово­дится при проектировании ядерных реакторов. Кроме того, особо важная роль при проектировании ядерных установок отводится расчету тепловыделяющей системы, математической моделью (ММ) которой является неста­ционарное уравнение теплопроводности. В этом случае в уравнении (1.6) дополнительно появляется член, опи­сывающий изменение искомого температурного поля во времени. При анализе тепловых процессов в тепловыде­ляющих элементах (ТВЭЛах), например в высокотем­пературных газоохлаждаемых реакторах, уравнение теплопроводности удобнее записывать в сферических координатах в виде

(2.6)

где С_р — удельная теплоемкость материала ТВЭЛов; R — удельная ядерная мощность.

8. Типы связей между подсистемами различной физической природы. Ранее были рассмотрены эквивалентные схемы однородных физических подсистем. Но реальный объект представляет собой совокупность разнородных физических подсистем. Согласно основным этапам получения ММС на макроуровне, после составления эквивалентных схем однородных подсистем следует установить связи между ними, т. е. определить их воздействие друг на друга. Можно выделить три типа связей: 1) трансформаторная При трансформаторном типе связи в одной подсистеме включается зависимый источник разности потенциалов. Этот источник зависит от разности потенциалов на зависимом источнике потока, установленном в другой подсистеме, который, в свою очередь, зависит от потока через первый источник. На рис. 10, а показана эквивалентная схема трансформаторной связи, где р и q - подсистемы различной природы. Если же источники в подсистемах поменять местами, то схема будет иметь такой вид, как изображено на рис. 10, б. Подобный вид связи уже встречался в ранее рассмотренных примерах эквивалентных схем однородных физических подсистем (рычаг, зубчатое зацепление колес). Для разнородных физических подсистем рассмотренная выше связь характерна при электромеханическом взаимодействии. 2) гираторная При гираторном типе связи в обеих физических подсистемах включаются зависимые источники одного вида: либо типа разности потенциалов, либо типа тока. Источники разности потенциалов зависят от потока через источник в другой подсистеме (рис. 12, а), источники потока зависят от разности потенциалов на источнике в другой подсистеме (рис. 12, б). Такой вид связи характерен при взаимодействии механической и гидравлической или пневматической подсистем. 3) через зависимые параметры элементов. ^ Связь через зависимые параметры элементов характерна при взаимодействии с тепловой подсистемой. В зависимости от значений температуры меняются параметры элементов взаимодействующей подсистемы, например вязкость жидкости, значение сопротивления резистора. Обратное влияние на тепловую подсистему учитывается введением в эквивалентную схему тепловой подсистемы зависимых источников теплового потока. При отсутствии массопереноса значение источника определяется мощностью, выделяемой элементом; при наличии массопереноса - переносимой массой. В случае моделирования влияния температуры на работу технических объектов без учета обратного воздействия предполагают, как будет изменяться температура во времени, и переносят эту зависимость на параметры элементов объекта, т. е. делают параметры зависимыми от времени. Аналогично моделируют старение элементов объекта при расчетах надежности.