29. Методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Вычисления при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) состоят из нескольких вложенных один в другой циклических процессов. Внешний цикл — цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем цикле решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

. Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.

Для решения систем алгебраических уравнений можно применять прямые итерационные методы. К ним относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации. Для них необходимо выполнение довольно жестких условий сходимости, характерна сравнительно медленная сходимость.

Поэтому в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно модель получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости.

Вычислительный процесс стартует с начального приближения и в случае сходимости итераций заканчивается, когда погрешность станет меньше допустимой погрешности .

Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существует легко используемый подход к улучшению сходимости. Это близость начального приближения к искомому корню СНАУ. Использование этого фактора привело к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением решения по параметру.

В методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некоторый параметр , такой, что прикореньсистемы (2) известен, а при увеличенииотдо его истинного значения составляющие вектораплавно изменяются отдо истинного значения корня. Тогда задача разбивается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значениях, и при достаточно малом шагеизмененияусловия сходимости выполняются.

В качестве параметра можно выбрать некоторыйвнешний параметр, например, при анализе электронных схем им может быть напряжение источника питания. Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве выбирают шаг интегрирования. Очевидно, что прикорень СНАУ равен значению вектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значенийвозлагается на алгоритмавтоматического выбора шага.

В этих условиях очевидна целесообразность представления математических моделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для динамического анализа.

К другим методам решения систем алгебраических уравнений, используемым в математическом обеспечении САПР, относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации.

В соответствии с методом простой итерации вычисления выполняют по формуле

(4)

причем для обеспечения сходимости параметр нужно выбирать из условиядля любогогде—-е собственное значение матрицы Якоби.

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что правая часть итерационной формулы обновляется сразу же после вычисления очередного элемента вектора .