Определение математической модели и математического моделирования.
Основные этапы математического моделирования.
Свойства математических моделей.
Требования к математическим моделям.
Классификация моделей.
Иерархия ММ и формы представления
Краевые задачи при проектировании технических объектов
Типы связей между подсистемами различной физической природы
ММ на микроуровне
ММ на макроуровне
\
сновные положения получения математических моделей технических объектов на макроуровне.
Методика получения функциональных моделей
Метод получения топологических уравнений
Метод конечных элементов.
Метод конечных разностей.
Методы граничных элементов.
Аналогии компонентных уравнений.
Аналогии топологических уравнений.
Получение эквивалентных схем технических объектов.
Аппроксимация табличных данных. Метод наименьших квадратов.
Внутренняя аппроксимация. Метод Ритца-Галеркина
.
Табличный метод получения математических моделей систем.
Узловой метод получения математических моделей систем.
.
Метод вращения Якоби
Методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.
Анализ в частотной области.
Сравнение методов конечныx элементов и конечных разностей
.
Математические модели дискретных устройств.
Многовариантный анализ.
Математические модели технических объектов на метауровне. Математические модели систем массового обслуживания.
Имитационное моделирование СМО
.
Геометрические модели.
Методы и алгоритмы машинной графики.
Программно-методические комплексы геометрического моделирования и машинной графики
1. Определение математической модели и математического моделирования
Математическая модель объекта моделирования – это система математических элементов (чисел, переменных, уравнений, неравенств, множеств, матриц, графов и т.д.) и отношений между ними, адекватно отражающая некоторые свойства объекта, существенные с точки зрения инженера, для решения той или иной задачи.
Моделирование - исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов — физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т. п.).
Под объектами моделирования следует понимать:
1. Технологические системы (ТС) – участки из универсальных станков, автоматические линии, гибкие производственные системы (ГПС).
2. Технологические процессы (ТП).
3. Физические процессы (ФП).
Математические модели разрабатываются для:
1. Описания ФП, ТП, ТС.
2. Исследования ФП, ТП, ТС.
3. Проектирования ТП, ТС.
4. Оптимизации в ходе проектирования ТП, ТС и организации работы ТС.
5. Построения систем автоматизированного проектирования.
Вид, состав, сложность математической модели зависит от того, какой объект она описывает и для каких целей разработана.
В общем виде математическая модель объекта записывается:
где
–
вектор выходных параметров,
–вектор
внутренних параметров,
–вектор
внешних (входных) параметров,
2. Основные этапы математического моделирования
Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.
Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.
Второй этап - исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программированияотражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.
Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.
Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.