Постановка задачи

Решить приближенную систему линейных уравнений A*= с точностью до 0,001 методом Гаусса.

А=

Решение

Вычисления удобно поместить в таблицу . Приведенная в ней схема называется схемой единственного деления.

step	a1	a2	a3	a4	b	Σконтр	Σпо строке
1	-1	0,13	-2	-0,14	0,15	-2,86	-2,86
2	0,75	0,18	-0,21	-0,77	0,11	0,06	0,06
3	0,28	-0,17	0,39	0,48	0,12	1,1	1,1
4	1	3,14	-0,21	-1	-0,11	2,82	2,82
1'	1	-0,13	2	0,14	-0,15	2,86	2,86
2'	0	0,2775	-1,71	-0,875	0,2225	-2,085	-2,085
3'	0	-0,1336	-0,17	0,4408	0,162	0,2992	0,2992
4'	0	3,27	-2,21	-1,14	0,04	-0,04	-0,04
2"		1	-6,16216	-3,15315	0,801802	-7,51351351	-7,51351351
3"		0	-0,99326	0,019539	0,269121	-0,70460541	-0,70460541
4"		0	17,94027	9,170811	-2,58189	24,52918919	24,5291892
3"'			1	-0,01967	-0,27095	0,709383197	0,7093832
4"'			0	9,523718	2,278945	11,80266291	11,8026629
4""				1	0,239292	1,239291523	1,23929152
				x4=	0,239292
				x3=	-0,26624
				x2=	-0,08428
				x1=	0,33802

Нахождение обратной матрицы по схеме единственного деления Теория метода

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ∆= 0. Матрица, обратная матрице А, обозначается через .

Квадратная матрица называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А* =*А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и .

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Алгоритм решения задачи

Пусть дана неособенная матрица А= ( i, j = 1,2,…,n ) (1)

Для нахождения ее обратной матрицы (2) используем основное соотношение (3) , где Е — единичная матрица.

Перемножая матрицы А и , будем иметьn систем уравнений относительно неизвестных .

( i, j = 1,2,…,n )

где

Полученные n систем линейных уравнений для j = 1,2,…,n , имеющих одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А^-1. В результате умножения матриц должна получиться единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Постановка задачи

Найти приближённо обратную матрицу для матрицы А с точностью до 0,001 по схеме единственного деления.

А=

Решение

Для удобства поместим вычисления в таблицу .

шаг	а1	а2	а3	а4	j1	j2	j3	j4	∑по строке	∑контр
1	-1	0,13	-2	-0,14	1	0	0	0	-2,01	-2,01
2	0,75	0,18	-0,21	-0,77	0	1	0	0	0,95	0,95
3	0,28	-0,17	0,39	0,48	0	0	1	0	1,98	1,98
4	1	3,14	-0,21	-1	0	0	0	1	3,93	3,93
1'	1	-0,13	2	0,14	-1	0	0	0	2,01	2,01
2'	0	-0,2775	1,71	0,875	-0,75	-1	0	0	0,5575	0,5575
3'	0	0,1336	0,17	-0,4408	-0,28	0	-1	0	-1,4172	-1,4172
4'	0	-3,27	2,21	1,14	-1	0	0	-1	-1,92	-1,92
2''		1	-6,16216	-3,15315	2,702703	3,603604	0	0	-2,00901	-2,00901
3''		0	-0,99326	0,019539	0,641081	0,481441	1	0	1,148796	-1,1488
4''		0	17,94027	9,170811	-7,83784	-11,7838	0	1	8,489459	-8,48946
3'''			1	-0,01967	-0,64543	-0,48471	-1,00678	0	-1,15659	1,156586
4'''			0	-9,52372	-3,74132	3,088027	-18,0619	-1	-29,2389	-29,2389
				4	0,392842	-0,32425	1,89652	0,105001
				3	-0,6377	-0,49108	-0,96947	0,002065
				2	0,01178	-0,44493	0,005962	0,343812
				1	0,221934	0,969722	1,67421	0,025864

Проверим правильность вычислений

А*A^-1= * =

Так как в результате умножения матриц получилась единичная матрица, следовательно, вычисления произведены правильно.