2.1.2. Сложение и вычитание матриц

Сумма 2-х матриц A={a_ij} и B={b_ij} (i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n) одинаковых размеров определяется как матрица C={c_ij) тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц т.е.

c_ij=a_ij+ b_ij. (7.1)

Формально операция сложения матриц A и B записывается так:

C=A+B (7.2)

Операция сложения матриц коммутативна, т.е. A+B=B+A, и ассоциативна, т.е. (A+B)+C=A+(B+C). Эта операция распространяется на любое число слагаемых.

Разность 2-х матриц A={a_ij} B={b_ij} (i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n) одинаковых размеров определяется как матрица C={c_ij} тех же размеров, каждый элемент которой определяется:

c_ij= a_ij – b_ij. (7.3)

Формально операция вычитания записывается так:

C=A–B. (4).

2.1.3. Умножение матрицы на число

В отличие от матриц и векторов, числа часто называют скалярами.

Произведением матрицы A на число β является матрица C=β*A, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы A на это число β, т.е. c_ij=β*a_ij. Общий множитель элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.

2.1.4. Умножение матриц

Произведением матрицы A размера (m*n) на матрицу B размера (n*r) является матрица C=A*B размера (m*r), элемент c_ij которой, расположенный в ij-клетке, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е.

c_ij =a_i1b_1j + a_i2 b_2j +…+ a_in b_nj = a_ik  b_kj . (7.5)

Умножение А на В допустимо (произведение А*В существует),если число столбцов А равно числу строк В. В таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме.

Для матриц А={a_ij}(i =1,2,3, … ,m; j=1,2,3, … , n) и В ={ b_ij } (i = 1,2,3, … , n ; j =1,2,3, … , m) существует как произведение А*В размера m*m, так и произведение В*А размера n*n. При m ≠ n эти произведения не могут быть равными вследствие различных размеров результирующих матриц.

Для квадратных матриц одинакового порядка (при m = n) произведение А*В и В*А не обязательно равны между собой. Если А*В = В*А, то матрицы А и В называются коммутирующими или перестановочными. Поэтому различают умножение матрицы А на В справа (А*В) и слева (В*А).

Умножение матрицы А = { a_ij} (i=1,2,3, … , m ; j = 1,2,3, … , n) на единичную матрицу n-го порядка (Е_n) справа и на единичную матрицу m-го порядка (Е_m) слева не изменяет этой матрицы, т.е.

A*E_n = E_m *A = A.

2.1.5. Транспонирование матрицы

Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами (или столбцов строками) при сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается А^T.

Произвольная (m*n) – матрица при транспонировании становится (n*m) – матрицей, а элемент a_ij занимает ji – клетку т. е.

а_ij =а^Т_ji .

Получение матрицы B={b_ij} (i = 1,2, … , n; j = 1,2, … , m) транспонированной к A = {a_ij} (i = 1,2, … , m; j = 1,2,… , n) сводится к определению её элементов так:

b_ij = a_ji. (7.6)

Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. А=А^Т ,

то, она называется симметричной и её элементы связаны соотношением a_ij=a_ji (симметрия относительно главной диагонали).