11.5.3. Компонентные и топологические уравнения электрической системы

В электрической системе потоковыми переменными являются токи I (А), а потенциальными переменными – напряжения или потенциалы U (В). Инерционными свойствами обладают катушки индуктивности. Компонентные уравнения инерционного элемента

где L – индуктивность (Гн).

Диссипативный элемент – резистор. Его компонентное уравнение получают на основе закона Ома:

U_д = R× i_д,

где R – сопротивление (Ом).

Упругими свойствами характеризуется конденсатор. Компонентное уравнение упругого элемента:

где С - ёмкость (Ф).

Особенностью электрической системы, отличающей её от рассмотренной ранее механической системы, является то, что соединение элементов в электрических схемах образует структуру, в которой легко различаются ветви и узлы. Причем ветви представляют собой двухполюсные элементы – резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, источники энергии и др.

В этом случае топологические уравнения получают на основе законов Кирхгофа:

(5.6)

(5.7)

Уравнение (5.6) выражает первый закон Кирхгофа. Оно записывается для узлов электрической схемы и формулируется так: алгебраическая сумма токов для любого узла электрической схемы равна нулю. Так как ток – потоковая переменная, то первый закон Кирхгофа описывает баланс потоков в узле.

Уравнение (5.7) выражает второй закон Кирхгофа. Оно составляется для замкнутых контуров электрической схемы.

11.5.4. Компонентные и топологические уравнения гидравлической системы

В гидравлической системе потоковыми переменными являются расходы Q (м³/с), а потенциальными переменными – давления p (Н/м² или Па).

Расход жидкости в трубопроводе Q выразим через скорость потока υ

где А – площадь поперечного сечения трубопровода. Введем обозначения:

где m_г - коэффициент массы (кг/м⁴); V – объем жидкости в выделенном участке трубопровода длинной l: V=A×l; m_ж – масса жидкости в этом участке.

Компонентным уравнением инерционного элемента является уравнение Эйлера:

Компонентным уравнением диссипативного элемента является уравнение Навье - Стокса:

где µ_г - коэффициент гидравлического сопротивления (Н×с/м⁵).

Упругие свойства жидкости учитывает уравнение Гука:

где c_г - коэффициент гидравлической жесткости (Н/м5); g_Г = 1/c_г - коэффициент гидравлической податливости (м⁵/Н); Q_у – изменение расхода, обусловленное сжимаемостью жидкости. В выражении (5.8) учтено, что при возрастании давления происходит увеличение объемной деформации жидкости. Коэффициент c _г определяется по формуле:

где E – модуль объемной упругости жидкости (Н/м²). Переменные p_и, p_у, p_д представляют собой внутренние потенциалы исследуемой гидравлической системы, характеризующие взаимодействие выделенных дискретных элементов и определяющие потери давления источника на преодоление сил инерции жидкости и сообщения ей кинетической энергии, на деформацию жидкости и

изменение её потенциальной энергии, на преодоление сил внутреннего трения жидкости.

Коэффициенты m_г, c_г и µ_г - являются параметрами, соответственно, инерционных, упругих и диссипативных элементов гидравлической системы.

Топологические уравнения имеют вид:

Первое уравнение выражает условие равновесия потенциалов, действующих на сосредоточенные массы, а второе – условие непрерывности потоков жидкости.