11.4.6. Синтез имитационной модели на основе структурной схемы
Методику построения имитационной математической модели динамической системы рассмотрим на конкретном примере. Дана функциональная схема электромеханической следящей системы (рис.4.30). С помощью имитационного моделирования определить коэффициент усиления первого усилителя k1 из условия обеспечения устойчивости системы. Исходя из условия задачи, построим структурную схему электрической следящей системы (рис.4.31).
Рис. 4.31. Структурная схема
Данной структурной схеме соответствует определённая система дифференциальных уравнений в форме Коши. Чтобы определить эти уравнения, необходимо выполнить следующее:
1) Выделить на структурной схеме системы элементы (звенья), передаточные функции которых содержат в знаменателях операторы p , и обозначить входные и выходные величины таких элементов соответственно через UВХ и Y. Входным величинам элементов присваивают индекс, на единицу больший индекса выходной величины предыдущего элемента. Младший индекс входной величины принимают равным единице.
2) Записать дифференциальные уравнения звеньев, выражающие связь между входными и выходными величинами:
где
Y1
= U3
- напряжение
на выходе второго усилителя;
Y2
=
-
скорость
вращения вала двигателя;
Y3
= θd
- угловое
перемещение вала двигателя.
3) Записать уравнения связей, показывающие условия соединения элементов между собой в составе структурной схемы:
4) Подставив уравнения связей в дифференциальные уравнения звеньев, получить систему дифференциальных уравнений всей системы в форме Коши:
Для нахождения переходного процесса в исследуемой динамической системе, полученные уравнения следует проинтегрировать на ЭВМ при заданных начальных условиях.
В программе численного решения правые части дифференциальных уравнений можно вычислять в два этапа.
Сначала с помощью уравнений связей вычислить входные величины, UВХ1,..., UВХ2, а затем числовые значения этих величин подставить в дифференциальные уравнения звеньев.
назад
11.5. Теоретические основы построения математических моделей систем
11.5.1. Компонентные и топологические уравнения
Основные физические свойства технических объектов любой физической природы – инерционные, упругие и диссипативные. Они отображаются в динамических моделях соответственно инерционными, упругими и диссипативными элементами.
При моделировании методом функционально законченных элементов элементы обычно обладают несколькими физическими свойствами и являются сложными. При имитационном моделировании все элементы простые, так как каждый из них наделён только одним физическим свойством. Мы в данном описании рассматриваем только простые элементы. Состояние простого элемента характеризуется одной потоковой переменной и одной потенциальной переменной. Зависимость между этими переменными называют компонентным уравнением.
Компонентные уравнения элементов могут быть получены путем непосредственного использования физических законов и имеют следующий вид:
1) для инерционного элемента
(5.1)
2) для диссипативного элемента
(5.2)
3) для упругого элемента
(5.3)
В уравнениях (5.1)-(5.3) приняты следующие обозначения: И, Д, У – параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; I – потоковая переменная; U – потенциальная переменная. Индексы при переменных I и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам.
Для получения полной математической модели технической системы необходимо объединить все компонентные уравнения элементов в общую систему уравнений. Объединение осуществляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности физических переменных. Уравнения этих законов называют топологическими уравнениями. Они описывают характер взаимодействия между простыми элементами, устанавливая соотношения между однотипными переменными. Условия равновесия записываются для потенциальных переменных:
а условия непрерывности – для потоковых переменных:
Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для систем различной физической природы. Топологическое уравнение для векторных переменных формулируется как равенство нулю геометрической суммы
соответствующих координат, а для скалярных – равенство нулю алгебраической суммы этих координат.
Полная математическая модель технического объекта, составленная на основе компонентных уравнений, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Искомыми функциями в этих уравнениях являются базисные переменные (координаты) I и U, а независимой переменной – время t. Размерность математической модели определяется общим порядком системы дифференциальных уравнений (или числом базисных переменных). Эту модель обычно представляют в нормальной форме Коши, в которой все уравнения разрешены относительно первых производных координат dI/dt и dU/dt. Координатный базис в этом случае составляют потоковые переменные I и потенциальные переменные U.