11.4.2. Объекты моделирования

Объекты моделирования рассматриваются нами как сложные технические системы, состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. Они могут включать в себя электрические, механические, гидравлические, пневматические, электронные и другие компоненты.

Их функционирование описывается переменными, связанными с механическими и электромагнитными явлениями, свойствами движущихся жидкостей и газов и т. д. Такие системы называют динамическими системами. Математическая модель динамической системы представляет собой систему обыкновенных ДУ, которая в нормальной форме Коши имеет вид:

где - вектор фазовых координат; t - независимая переменная (время).

Задача моделирования таких объектов состоит в определении оптимальных параметров и структуры исходя из заданного описания внешней среды и технических требований к объекту.

11.4.3. Динамическая модель исследуемого объекта

Построение математической модели объекта осуществляется на основе его динамической модели. Динамическая модель - это абстрактное графическое отображение основных физических свойств объекта и характеристик его взаимодействия с внешней средой [13].

При построении динамической модели следует принимать во внимание лишь те физические свойства объекта и воздействия внешней среды, которые могут оказать существенное влияние на точность результатов моделирования. Такой подход позволит избежать необоснованной избыточности в его математическом описании.

Структура динамической модели представляется в виде совокупности взаимодействующих элементов и её сложность зависит от степени абстрагирования при отображении физических свойств объекта. При построении динамических моделей используют следующие методы:

- методы сеток;

- метод функционально законченных элементов;

- метод сосредоточенных масс.

Методы сеток подразделяют на метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они обычно используются при построении алгоритмической модели на микроуровне в системах с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных.

Метод функционально законченных элементов основан на выделении типовых элементов системного объекта, завершенных в конструктивном отношении и предназначенных для выполнения определенных функций (например, в гидромеханической системе - участок гидромагистрали, золотниковый клапан, дроссель, обратный клапан, насос, гидромотор и т. д.) Имея библиотеку математических моделей функционально законченных элементов и зная структуру технического объекта, можно составить полную математическую модель.

Наиболее часто при построении динамической модели используют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим, если система имеет ярко выраженный дискретный спектр собственных частот. Это характерно для технических объектов, у которых масса распределена в пространстве неравномерно. Например, в механической системе автомобиля масса вращающихся

деталей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных шестернях трансмиссий, колесах, имеющих большие радиальные размеры и обладающих большими моментами инерции, а соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.) имеют малые радиальные размеры и массу, но обладают существенными упругими свойствами. Из названия метода следует, что он предназначен для моделирования технических объектов, мерой инертности элементов которых служит масса.

При построении динамической модели выделяют сосредоточенные массы, эквивалентные массам соответствующих частей технологического объекта, и элементы, лишенные массы (невесомые), отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Их называют инерционными элементами. Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих, диссипативных, фрикционных и трансформаторных элементов.

Упругие элементы отображают упругие свойства динамической системы. Они обладают способностью накапливать потенциальную энергию.

Диссипативные элементы отображают свойство диссипации (рассеивания энергии) конструктивными элементами технического объекта, обусловленное силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скорости перемещения взаимодействующих сосредоточенных масс (или сосредоточенных масс относительно внешней среды, например, при движении жидкости в трубопроводе). Трансформаторные элементы отображают безинерционное преобразование параметров потока энергии, осуществляемое техническими устройствами, называемыми трансформаторами. Здесь речь идет о тех случаях, когда внутренними процессами трансформатора можно пренебречь и учитывать лишь пропорциональное изменение величины выходных переменных по отношению к величине переменных на его входе без преобразования вида энергии.

Пример

Используя метод сосредоточенных масс, построить динамическую модель для анализа плавности хода автомобиля (рис. 4.1) [13]. В связи с неровностями дороги, движение автомобиля сопровождается колебаниями кузова и вибрациями его механизмов и деталей. Для того чтобы создать нормальные условия водителю и комфортные условия пассажирам, применяют упругую подвеску автомобиля. Эта подвеска содержит упругие элементы и амортизаторы. Динамическая модель колебательной системы автомобиля имеет следующий вид. В этой модели учитывается масса части кузова m₂, приходящаяся на колеса данного моста. Масса колес и моста m₁.

Коэффициент сопротивления диссипативных элементов подвески m₂ и шины m₁. С учетом наложенных позиционных связей на сосредоточенные массы m₁ и m₂, они могут перемещаться только вертикально вдоль осей соответственно z₁ и z₂.

Рис. 4.2. Динамическая модель плоских колебаний

Следовательно, система имеет две степени свободы. Внешние воздействия на эту систему создаются неровностями микро- и макро профиля дороги. Эти воздействия носят случайный характер и описываются случайными функциями q(t). Однако для более детального анализа влияния параметров подвески на колебания кузова необходимо учитывать связанность колебаний. В этом случае приходим к динамической модели плоских колебаний, в которой учитываются не только вертикальные колебания кузова относительно оси z0, но и угловые колебания b относительно оси y (рис.4.2).

Колебательная система имеет четыре степени свободы, и её состояние определяется фазовыми координатами z₀, b₂, z₁, z₂. Аналогичная модель используется при исследовании поперечных колебаний кузова.