11.3.9. Методы прогноза и коррекции

Методы Адамса – Башфорта используют уже сосчитанное значение в точке n, t и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки t_n+1, t_n+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек t_n+1, t_n ,…, t_n-N и построении интерполяционного полинома степени N +1. При этом возникает класс методов, известный как методы Адамса - Моултона. Если N = 0, то P - линейная функция, проходящая через точки (t_n , f_n) и (t_n+1 , f_n+1), и соответствующий метод

(3.18)

является методом Адамса - Моултона второго порядка.

Если, N = 2 , то P - кубический полином, построенный по точкам (t_n+1, f_n+1), (t_n, f_n), (t_n-1, f_n-1) и (t_n-2, f_n-2) и соответствующий метод

(3.19)

является методом Адамса-Моултона четвёртого порядка.

Заметим, что в формулах (3.18) и (3.19) значение f_n+1 неизвестно. Дело в том, что для вычисления f(t_n+1, y_n+1)=f_n+1 нужно знать три значения y_n+1, которое само пока является неизвестным. Например, соотношение (3.18) является уравнением

(3.20)

относительно неизвестного значения y_n+1. То же самое справедливо и относительно (3.19). Следовательно, методы Адамса-Моултона определяют y_n+1 неявно и в силу этого называются неявными. В то же время, методы Адамса – Башфорта называются явными, поскольку они для нахождения значения y_n+1 не требуют решения никаких уравнений. На практике обычно не решают уравнение (3.20), а используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методу прогноза и коррекции. Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамса четвёртого порядка (3.17) и (3.19):

В целом этот метод является явным. Сначала по формуле Адамса – Башфорта вычисляется значение , являющееся «прогнозом» для . Затем используется для вычисления приближенного значения , которое, в свою очередь, используется в формуле Адамса - Моултона. Таким образом, формула Адамса -Моултона «корректирует» приближение, даваемое формулой Адамса– Башфорта.

Может возникнуть вопрос - зачем вообще нужна коррекция, если прогноз имеет четвёртый порядок точности? Ответ на этот вопрос дает оценка величины членов, выражающих погрешность. Ошибка усечения ряда для формулы прогноза (3.17) равна:

а для формулы коррекции (3.19):

т. е. погрешность усечения ряда при коррекции в 13 раз меньше.

Рис. 3.5. Алгоритм метода прогноза и коррекции

Формулы коррекции гораздо более точны, чем формулы прогноза, а потому их использование оправданно, хотя и связано с дополнительными вычислениями (рис. 3.5). Чтобы добиться наибольшей точности вычисления, коррекцию в методах прогноза и коррекции часто повторяют на одном и том же шаге несколько раз. На практике для обеспечения сходимости решения достаточно 2-3 циклов коррекции.

11.3.10. Краткая характеристика методов прогноза и коррекции.

По сравнению с одношаговыми методами, методы прогноза и коррекции имеют ряд особенностей:

1) Для реализации методов прогноза и коррекции необходимо иметь информацию о нескольких предыдущих точках. Поэтому они не относятся к числу «самостартующихся» методов и начинать решение приходится с помощью какого-либо одношагового метода. По этой же причине в процессе решения дифференциальных уравнений нельзя изменять шаг интегрирования.

2) Одношаговые методы и методы прогноза и коррекции обеспечивают приблизительно одинаковую точность результатов, однако вторые в отличие от первых позволяют легко оценить погрешность на шаге.

3) Применяя метод Рунге - Кутта четвёртого порядка, на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции, в то время как для обеспечения сходимости метода прогноза и коррекции того же порядка точности достаточно двух значений функции. Поэтому методы прогноза и коррекции требуют почти вдвое меньше машинного времени, чем методы Рунге - Кутта сравнимой точности.