11.3.5. Метод Рунге – Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

y’ = f (t, y),

удовлетворяющее начальному условию

y’(t₀) = y₀.

Принцип, на котором основан метод Рунге – Кутта, можно пояснить, как и принцип, на котором основан метод Эйлера, с помощью разложения функции в ряд Тейлора

Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо вычислить n-ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно-разност-ной форме достаточно было знать наклон кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной, по меньшей мере, в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала h, т. е. между tn и n 1 t + . Очевидно, чем выше порядок вычисляяемой производной, тем больше дополнительных точек потребуется вычислить внутри интервала. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге – Кутта, в сущности, объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений.

Наиболее распространенным из них является метод четвёртого порядка точности, при котором удерживаются все члены ряда Тейлора, включая h⁴. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формулам:

где

Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге – Кутта первого и второго порядка соответственно. Более высокая точность метода Рунге – Кутта позволяет увеличить шаг интегрирования h. Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину. В прикладных пакетах программ выбор шага часто осуществляется автоматически. Для этого проводят вычисления сначала с шагом h, а затем – с шагом h/2.

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять приближенную формулу

где - вычисленное значение с шагом h/2; y_n– вычисленное значение с шагом h. Пример: y’ = xy.

Решение:

При реализации методов Рунге – Кутта на ЭВМ для каждой точки проводят двойной счет. Если полученные при этом значения удовлетворяют выражению (5.4), то для точки t n+1 шаг удваивают, в противном случае уменьшают вдвое. Однако необходимо помнить, что выражение (5.4) приближенное и при неблагоприятных условиях можно получить совершенно ошибочные результаты, хотя в большинстве случаев дело обстоит благополучно.

11.3.6. Метод Рунге – Кутта для систем дифференциальных уравнений

Формулы Рунге - Кутта можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений и, следовательно, для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков, так как любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно свести к n дифференциальным уравнениям первого порядка. Например, в дифференциальном уравнении второго порядка