11.3.3. Метод Эйлера

Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, но в некоторых случаях, например, в системах управления электроприводов, он применяется достаточно часто. На основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение в форме Коши

y’ = f (t, y), (3.9)

удовлетворяющее начальному условию

y(t₀) = y₀. (3.10)

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y₁, y₂ , …., y_n решения уравнения (3.9) в точках t₁, t₂, ….,t_n. Точки t₁, t₂, ….,t_n - узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h - шаг сетки (шаг интегрирования).

Метод Эйлера основан на разложении y в ряд Тейлора в окрестности t₀:

Если h мало, то члены, содержащие h во второй или более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда

y'(t₀) находим из дифференциального уравнения (3.9), подставив в него начальное условие (3.10). Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

и делая сколь угодно много шагов.

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [t_n, t_{n +1}] отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке t_n (рис. 3.3). Как видно из рис. 3.3, на каждом новом шаге приближенное решение переходит на другой член семейства решений. В результате накапливается ошибка дискретизации, которая линейно зависит от h , так как члены ряда Тейлора, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются. Поэтому метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Рис. 3.3 Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уме-ньшении h приближенное решение будет все более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h ; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится в 2 раза. Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их широкого использования.

Примеры

Определить решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

1) y' = xy .

Решение:

2)

Решение:

3) .

Решение:

11.3.4. Модифицированный метод Эйлера

Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен 0 y¢(t ) , он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке t₀ + h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке t₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, используя,

например, среднее значение производной в начале и конце интервала.

Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация модифицированного метода

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по простому методу Эйлера:

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала f(t_n+1, ). Вычислив среднее между этим значением призводной и её значением в начале интервала, найдем более точное значениеy_n+1:

(3.11)

Графическая интерпретация модифицированного метода Эйлера представлена на рис. 3.4. Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора.

Кажется очевидным, что, сохранив член с h² и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h² , надо знать вторую производную y’’(t₀) . Её можно аппроксимировать конечной разностью

Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами третьего порядка, найдем

что совпадает с ранее полученным выражением (3.11).

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h² . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления .

Примеры:

Определить решение дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера

1) y’ = xy.

Решение:

2)

Решение:

3)

Решение: