Лекция 2.

2.1. Элементы моделирования

Процесс моделирования связан с рядом процедур, например, таких как выбор целевой функции (функции отклика), переменных, параметров и т.д. Рассмотрим основные из них:

Выбор переменных. Различают переменные состояния, скорости (роста), факторов и др. Они в свою очередь подразделяются на вспомогательные и управляющие.

Переменные состояния определяют или помогают определить со- стояние системы в любой заданный момент времени (фазовые переменные). Типичным примером может служить объем выбросов и их содержание. Переменные должны поддаваться измерению и представлять интерес для исследователя. Так, если система задана с помо- щью n переменных состояния Х₁, Х₂, ..., Х_n, то они определяют един- ственным способом состояние системы в момент времени t. Проблема детерминированного моделирования состоит в построении дифференциальных уравнений, с помощью которых можно было бы прогнозировать значения всех переменных состояния системы в любой наперед заданный момент времени.

Переменные скорости (роста) — это характеристика, задающая процесс, который протекает в системе, в заданный момент времени. Эти процессы можно квалифицировать либо как преобразование, либо как перемещения.

Вспомогательные переменные способствуют более глубокому пониманию объекта и в отдельных случаях упрощают сопоставление результатов наблюдения, например темп роста выбросов в атмосферу

где П — объем выбросов;

dП — приращение объема выбросов за время dt.

Управляющие переменные — это не зависящие от времени количественные показатели и коэффициенты, включаемые в математические модели.

Под константой понимают численную величину, имеющую надежно и точно вычисленное значение, которое остается неизменным при варьировании условий эксперимента, а также в тех случаях, когда модель используется для проверки различных гипотез или для описания компонент системы.

Термин «параметр» обычно относится к характеристикам, численные значения которых отличаются меньшей определенностью, чем у констант, но, тем не менее, остаются неизменными на протяжении исследования модели. Значения параметров подвержены влиянию условий эксперимента, и они могут иметь приближенное значение.

Для обозначения параметров и констант введем символ Р, а величины, относящиеся к параметрам, будем записывать с индек- сом с, например, S_c — постоянные затраты (с - от const).

Для обозначения переменных введем символы Х, Y, Z и т.д. Величины, относящиеся к переменным, будем записывать с индек- сом v, например, S_v — переменные затраты и т.д. (здесь индекс v — от var).

Подгонка моделей связана с такой корректировкой значений пара- метров Р и начальных условий переменных Х_i (i =1, n), которая прибли- жала бы модель к описываемой ею реальной системе при сохранении выбранной структуры и базовых уравнений. Например, пусть у реальной системы измеряется конкретная характеристика Y_n, в определенные моменты времени t₁, t₂, ..., t_n и соответственно фиксируются значения у₁, у₂, ..., у_n. При тех же условиях по модели фиксируем состояния Y₁,Y₂, ..., Y_n, где Y_i — прогнозируемые величины характеристик системы. Если имеется разница между значениями у_i и У_i, то ее величина называется невязкой и обозначается как

И можно вычислить сумму квадратов невязок

где а_i — некоторый весовой коэффициент, который применяется в случае, когда невязки r_i имеют разную качественную значимость. При этом

а₁ + а₂ +...+ a_n = l.

Сумма невязок используется в качестве меры близости модели к ее прототипу и может быть разбита на две составляющие

R = R_ад +R_е

где R_ад — отражает неадекватность модели прототипу;

R_е — ошибки в экспериментальных данных.

Величина R рассматривается как зависимая от параметров сис- темы Р_1, Р_2, ..., Р_k поэтому ожидаемое значение R_е определяется по формуле

R_е =(n — k) σ²,

где n — число измерений;

k — число параметров;

σ ² — дисперсия ошибки.

Зависимость R от параметров Р_i (i =1, k) может быть записана как

R=R(P₁,P₂,..., P_k)

Для определения минимума функции R(P) используют методы: наименьших квадратов, градиентный и др.

В качестве критерия чувствительности модели, где величина Y_i. прогнозируется в заданный момент времени и известен параметр, от которого зависит эта величина, рекомендуется безразмерная вели- чина

где σ P_i — малое приращение параметра;

σY_i — приращение Y_i вследствие изменения параметра P_i

Параметры, для которых S(Y_i, Р_i) >1, сильно влияют на выход- ной показатель, и наоборот.