Численные ошибки использованных для вычисления данных

Степень много- члена	Аппроксимация dT/dz при z =2	Порядок остаточного члена	Численное значение (dT/dz)z0= 0
1	(Т1 — Т0) / h	h	4,12
2	(-Т2 + 4Т1 — 3Т0) / 2h	h2	4,71
3	(-2Т3 - 9T2 + 18Т1 - 11T0)/ 6h	h3	5,25
4	(-3T4+ 16Т3 - 36Т2+ 48Т1 - 25T0)/12h	h4	3,47

Здесь аппроксимация градиента d/Т/dz и «порядок ошибки» маскируют значительно более важный источник ошибки при вычислении dT/dz, а именно случайную ошибку, порождаемую измерением.

Предположим, что все величины Т_i в табл. 12.4 обладают одинаковым стандартным отклонением 0,01 (1% от Т₀) или дисперсией в 10^-4. Тогда для многочлена четвертого порядка

при измерениях: T_o =-1,000; Т₁=-0,588; Т₂=-0,295; Т₃=-0,259; T₄=-0,305; h = 0,1. Тогда , что составляет около 16% от .

Оценивание методом наименьших квадратов. Если наблюдения Y для откликов модели представляют собой непрерывные функции времени в интервале от t = 0 до t = t_i то МНК требует минимизировать величину

,

где Г — ковариационная матрица;

Ф — проинтегрированное по времени значение квадрата ошибки. Если наблюдения производились в дискретные моменты времени t_i, i= 1, 2, ..., n, то, согласно критерию Маркова, следует минимизировать величину

.

Если матрица Г является диагональной, то Ф соответствует критерию «взвешенных наименьших квадратов». Если же Г = получается критерий «обыкновенных наименьших квадратов».

Величина ψ в общей форме

ψ (α,у₀,t_i) = Y(t_i) - ε(t_i),

ε(t_i) = Y(t_i) - ψ (t_i).

т.е.

Для минимизации дифференцируем функцию Ф по у₀ и α.

Приравниваем ее нулю

Подобную систему уравнений можно получить и для непрерывных данных, заменяя суммы по дисперсионным значениям на интегралы по времени. Для получения оценки точности и необходимо сделать некоторое предположение относительно распределения ненаблюдаемых ошибок, например, постулировать нормальное совместное распределение.

Чтобы получить оценки точности , решение модели необходимо приближенно представить в виде линейной функции параметров, разлагая это решение в ряд относительно оценок этих параметров линеаризацией.

Пример. Пусть имеем модель

.

Тогда

.

Дифференцируя

по у₀ а затем по α и заменяя в получившихся выражениях у₀ и α на их оценки получим:

Используя функцию Ф следует учитывать:

1) ненаблюдаемая ошибка добавляется к детерминированному отклику специальным образом;

2) в оценках используются одновременно все n откликов;

3) в критерии не входит никакая априорная статистическая информация, за исключением, быть может, той, которая вводится с помощью матрицы Г.

назад