Статистическое оценивание уравнения регрессии и парной корреляции.

После построения уравнения регрессии по МНК проводят оценивание значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции, а также значимость уравнения в целом. Рас- смотрим оценивание на примере полученного уравнения у = 0,71+1,07x по результатам эксперимента, зафиксированного в табл. 3.2.

1. Для статистического оценивания коэффициентов уравнения регрессии проверяют нулевую гипотезу Н: В = 0, т.е. отличается ли статистически значимо оценка коэффициента регрессии от нуля. Границу значимости устанавливают по критерию Стьюдента:

где b — выборочная оценка коэффициента уравнения регрессии;

В — значение коэффициента уравнения регрессии в генеральной совокупности;

S(b) — среднее квадратическое отклонение коэффициента b;

—значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы n - 2 и уровне значимости α (см. приложение 2).

Если условие выполняется, то гипотезу Н₀: В = 0 отклоняют, т.е. коэффициент уравнения регрессии значимо отличается от нуля.

Пример. По данным примера в табл. 3.2 произвести статистическую оценку коэффициентов уравнения регрессии

= 0,71+ 1,07х.

Р е ш е н и е. Вычисляем статистику для коэффициентов b₀ и b₁.

где средние квадратические отклонения вычисляем по формулам:

При числе степеней свободы k = n — 2 = 18 — 2 = 16 и уровне значимости,

α = 0,1 по таблице (см. приложение 2) определяем значение критерия Стьюдента

Сравниваем:

Отсюда делаем заключение, что коэффициент b₀ незначим, т.е. принимается гипотеза Н₀: В = О, а коэффициент b₁ значим, т.е. гипотеза Н₀: В = 0 отклоняется. Тогда уравнение регрессии из вида должно быть преобразовано в уравнение с доверительной вероятностью (надежностью) Р = 0,9.

2. Для статистического оценивания коэффициента корреляции проверяют нулевую гипотезу Н₀: R = 0, где R — коэффициент корреляции в генеральной совокупности. Границу значимости устанавливают по критерию Стьюдента

Если это условие выполняется, то гипотезу Н₀: R = 0 отклоня- ют, т.е. коэффициент r принимается значимым.

Пример. По данным примера в табл. 3.2 следует определить значимость коэффициента корреляции r= 0,987.

Р е ш е н и е. Вычисляем статистику t для коэффициента корреляции

При уровне значимости α = 0,1 и числе степеней свободы n - 2 = 18 - 2 = 16 по таблице (см. приложение 2) выбираем значение

При условии t_r = 24,56 > t_16;0,1 = 1,746 гипотеза H₀: R = 0 отклоняется, т.е. полученный коэффициент корреляции является значимым.

3. Для проверки значимости полученного уравнения регрессии, т.е. его адекватности результатам эксперимента, используют критерий Фишера

где — дисперсия случайной величины Y,

—остаточная дисперсия,

Величина у вычисляется для каждого из n по формуле = b₀ + b₁х_i, а затем находится разность экспериментального и теоретического у_i значения по всем n экспериментам. Остаточная дисперсия имеет важное значение в статистических исследованиях, так как она представляет собой показатель ошибки предсказания уравнением регрессии результатов опыта.

Критерий находится по таблице (см. приложение 6) по заданному уровню значимости а, числу степеней свободы k₁ для S²(Y) и k₂ для S²(Y)_ост принимают для n испытаний: k₁ = n — 1; k₂ = n — 2. Если условие F_b > F_k1;k2;a выполняется, то уравнение регрессии адекватно описывает статистические данные, т.е. оно статистически значимо для полученных в результате эксперимента данных.

Пример. Проверить значимость уравнения регрессии y=1,067х по данным, вычисленным по табл. 3.2 при b₀ = 0 и b₁ = 1,067.

Р е ш е н и е. Вычисляем F_b статистику

Принимаем уровень значимости, α = 0,1 и при числе степеней свободы k₁ = 18 - 1 = 17; k₂ = 18 - 2 = 16, по таблице (см. приложение 6) находим значение критерия Фишера

Сравниваем =F_17;16;0,1 = 1,94.

F_b =3,13>F_17;16;0,1 =1,94 =1,067х,

т.е. уравнение регрессии = 1,067х адекватно описывает результаты эксперимента.

4. Для проверки линейности уравнения регрессии используется следующий подход. Так как изменение функции отклика Y носит случайный характер, то при каждом значении Х рекомендуется проводить по несколько экспериментов, чтобы для данного значения Х получить некоторое среднее значение Y.

В этом случае экспериментальный материал табл. 5.2 представляется в виде табл. 5.6, в которой принимается k уровней Х, а число значений Y для Х_i берется равным m_i. Общее число экспериментов равно:

Значение Y в j-том эксперименте для Х_i обозначаем как Y_ij, среднее значение для Х_i равно:

Для проверки линейности уравнения регрессии вычисляется F_л статистика

которая сравнивается с критерием Фишера при уровне значимости α и степенях свободы испытаний k₁ = n — 1, k₂ = n — 2. При F_л< — гипотеза о линейности уравнения регрессии принимается, а при F_л> гипотеза о линейности отвергается.

Во втором случае для описания экспериментального материала необходимо выбрать нелинейную модель (табл. 5.8).

Таблица 5.8