Результаты эксперимента
|
xi |
1 |
3 |
2 |
5 |
2 |
5 |
6 |
2 |
3 |
6 |
4 |
1 |
3 |
4 |
6 |
5 |
1 |
4 |
|
yi |
3 |
5 |
3 |
4 |
3 |
б |
7 |
2 |
3 |
8 |
6 |
2 |
4 |
4 |
8 |
6 |
1 |
5 |
Решение. Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии составляем статистическую табл. 5.3.
По вычисленным суммам определяем:
Тогда
уравнение
регрессии
будет
иметь
вид
.
Таблица 5.3
Статистическая таблица эксперимента
|
Номер опыта |
Значения Xi |
Значения Уi. |
ХiYi |
Xi2 |
Yi2 |
|
1 |
1 |
3 |
3 |
1 |
9 |
|
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
4 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
2 |
2 |
4 |
4 |
4 |
|
5 |
2 |
3 |
6 |
4 |
9 |
|
6 |
2 |
3 |
6 |
4 |
9 |
|
7 |
3 |
4 |
12 |
9 |
16 |
|
8 |
3 |
3 |
9 |
9 |
9 |
|
9 |
3 |
5 |
15 |
9 |
25 |
|
10 |
4 |
4 |
16 |
16 |
16 |
|
11 |
4 |
5 |
20 |
16 |
25 |
|
12 |
4 |
6 |
24 |
16 |
36 |
|
13 |
5 |
4 |
20 |
25 |
16 |
|
14 |
5 |
6 |
30 |
25 |
36 |
|
15 |
5 |
6 |
30 |
25 |
36 |
|
16 |
6 |
7 |
42 |
36 |
49 |
|
17 |
6 |
8 |
48 |
36 |
64 |
|
18 |
6 |
8 |
48 |
36 |
64 |
|
|
63 |
80 |
336 |
273 |
428 |
Определяем коэффициент корреляции:
,
отсюда следует, что Y и Х тесно связаны друг с другом, так как коэффициент корреляции близок к единице.
При нелинейной форме связи могут быть использованы два подхода:
• первый — когда нелинейная форма связи представляется в виде линеаризованной функции;
• второй — когда используется итерационный нелинейный метод наименьших квадратов.
В первом случае исследователь сначала выбирает форму нелинейной связи, затем её линеаризует, преобразуя члены уравнения регрессии, например, как это показано в табл. 5.4.
Таблица 5.4.
Пример преобразования членов уравнения регрессии
|
Функция |
Линеаризующие преобразования | |||
|
Преобразование переменных |
Преобразование коэффициентов | |||
|
Y1 |
Х1 |
|
| |
|
y = b0+b1/х |
y |
1/х |
b0 |
b1 |
|
y= 1/(b0+b1x) |
1/y |
х |
b0 |
b1 |
|
y= x/(b0+b1x) |
х/у |
х |
b0 |
b1 |
|
у
=b0 |
lny |
х |
lnb0 |
lnb1, |
|
y =b0ebx |
lny |
х |
lnb0 |
b1 |
|
y=1/(b0+b1e-x) |
1/у |
e-x |
b0 |
b1 |
|
у = b0xb |
lny |
lnx |
lnb0 |
b1 |
|
у =b0+b1lпх |
y |
lnx |
b0 |
b1, |
|
у = b0/(b1+х) |
1/y |
х |
b1/b0 |
1/ b1 |
|
у = b0х/(b1+х) |
1/у |
1/х |
b1/b0 |
1/b1 |
|
y = b0+b1xn |
y |
xn |
b0 |
b1 |
Затем используется метод МНК для линеаризованного уравнения, откуда определяются коэффициенты уравнения регрессии. По- лученное уравнение регрессии затем вновь преобразуется в нелинейную форму.
Пример. В результате многолетних исследований зависимости толщины слоя ила после разлива на пойменных лугах от толщины снежного покрова получены данные, показанные в табл. 5.5.
Таблица 5.5
|
Толщина |
|
|
|
|
|
|
|
|
снежного покрова Х, см |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
слоя ила Y, см |
0,5 |
1,0 |
1,4 |
1,7 |
1.8 |
1,9 |
2,0 |
Требуется найти зависимость между толщиной снежного покрова и толщиной слоя ила.
Р е ш е н и е. Предполагаем зависимость между Х и Y вида у = abx. Линеаризуем уравнение, при у' = lny; х' = х; а' = lnа и b' = lnb, тогда у' = а' +xb'. Составляем статистическую таблицу.
Составляем систему нормальных уравнений МНК:
na' + b' ∑ х = у' 7a' + b'28 = 0,9106
или
а'х+ ∑х2 = ху' 28a'+ 140b' = 6,1152.
Таблица 5.6