Определение вариантов выборок

Порядковый номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Значение	1	2	3	4	5	6	7	10	13	16	17	20	22
Варианты	y1	y2	х1	х2	y3	x3	y4	x4	x5	y5	x6	y6	y7

Определяем сумму порядковых номеров варианта выборки n_x:

3+4+6+ 8+9+ 11=41.

Эта сумма принимается в качестве статистики W_b(x) = 41. Для проверки гипотезы H_о используется условие:

W_н.к < W_b(x) < W_в.к

где W_н.к и W_в.к — нижнее (н.к) и верхнее (в.к) критические значения критерия Вилкоксона (Уилкоксона). При заданном значении уровня значимости и объемах выборок n_x и n_y величина W_н.к. определяется по таблице (см. приложение 8). Для нашего примера при = 0,01, n_x = 6, n_y = 7, величина

W_н.к =

Если объем хотя бы одной из выборок превышает величину 25, значение W_н.к определяется по формуле

где z_кр определяется из условия по таблице (см. приложение 1).

x = z_кр

Верхнее критическое значение величины W_в.к во всех случаях определяется по формуле

W_в.к = (n_x + n_y +1)n_x - W_н.к.

Для нашего примера

W_в.к = (6 +7 +1)6 — 24 = 60.

Тогда условие принятия гипотезы Н₀: F(x) = F(y) и

W_н.к = 24 < W_b(x) < W_в.к = 60

соблюдается. Следовательно, можно считать, что выборки n_x и n_y принадлежат одной генеральной совокупности, т.е. выборки однородны. Проверка статистических гипотез о виде распределения случайных величин. При построении математической модели исследуемых процессов часто возникают задачи сопоставления полученного материала экспериментов с известными теоретическими распределениями. Если сопоставить вероятность попадания в интервалы, на которые разбита выборка, с соответствующими частотам и, полученными из наблюдений, или проводить графическое сравнение полигонов и гистограмм с некоторой теоретической функцией распределения, то можно получить представление о степени близости теоретического и эмпирического распределений. Наиболее широко для проверки статистических гипотез о сходимости теоретического и эмпирического распределения используется критерий Пирсона (— хи-квадрат). Рассмотрим его применение. Пусть вся область изменения случайной величины х разбита на конечное число k(i = 1, 2, ..., k) интервалов (в случае непрерывной величины) или групп (для дискретных величин). Например, в статистический ряд, полученный в результате эксперимента (табл. 2.9).

Таблица 2.9

Статистический ряд, полученный в результате эксперимента

Значение величины хi	x1	x2	…	xi	…	xk
Частота mi	m1	m2	…	mi	….	mk

Пусть Р_i есть вероятность для х при заданном распределении F(x) принять значение, принадлежащее i-тому интервалу. Тогда те- оретическое значение частоты в этом интервале будет определяться, как m_i,T = р_in, где п — объем выборки.

Очевидно, что должны выполняться условия

; .

Если проверяемая гипотеза H₀: F(x) = F₀(x) где F₀(x) — предпо- лагаемое теоретическое распределение, из которого извлечена вы- борка, верна, то опытные значения т_i и теоретические т_i,T не должны значительно отличаться друг от друга, т.е. их расхождение не должно быть большим.

В качестве меры расхождения рассматривается статистика , равная

При проверке гипотезы Н₀ статистика сравнивается при заданном уровне значимости с табличным значением

При условии < , где (k - 1) — число степеней свободы, гипотеза Н₀ принимается. В случае, если ≥ , гипотеза Н₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н₁: F(x) ≠ F₀(x).

При проверке гипотез о виде распределения с помощью критерия Пирсона следует учитывать некоторые условия и допущения, влияющие на полученный результат.

1) Если гипотеза Н₀ подтверждается, то это означает лишь су- ществование некоторой функции F₁(х), которая приводит к тем же значениям р_i что и проверяемая функция F₀(x).

2) Рекомендуется число интервалов брать не менее 8 с количеством вариантов в интервале не менее 8, кроме крайних интервалов, в которых число вариантов может быть меньше 8.

Пример. Используя критерий Пирсона при уровне значимости α = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза Н₀ о нормальном рас- пределении генеральной совокупности х с эмпирическим распреде лением выборки объема n = 200 (табл. 2.10).

Таблица 2.10