Примеры решения задач

Задача 1. В опыте Ллойда (рис. 1.2.1) световая волна, исходящая непосредственно из источника (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала. В результате на экранеобразуется система интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала на, ширина полос уменьшилась враза. Найти длину волны света.

Решение

Решение данной задачи можно свести к решению задачи о двух источниках, заменяя зеркало изображением источника в нем. Будем отсчитывать положение точки наблюдения на экране от линии пересечения зеркала и экрана.

Рис. 1.2.1

Определим геометрические длины путей, которые прошли волны, взаимодействующие в точке , от источника и его изображения. Обозначая начальное расстояние от источника до плоскости зеркала через, по теореме Пифагора находим

,,

откуда следует

. (1.2.1)

Поскольку первая скобка в (1.2.1) равна оптической разности хода волн (так как показатель преломления воздуха принимаем равным единице), а вторую с учетом условияможно приближенно принять равной, получаем

. (1.2.2)

Применяя условие минимумов интенсивности света при интерференции, находим линейные координаты минимумов освещенности

,

и ширину интерференционной полосы

. (1.2.3)

Рассуждая аналогично, находим ширину интерференционной полосы после передвижения источника

. (1.2.4)

Так как, согласно условию , из (1.2.3), (1.2.4) следует

.

Задача 2. На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса , которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы. Найти радиус шестого светлого кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной волны.

Решение

Определим высоту сферического сегмента , удаленного при шлифовании линзы. По теореме Пифагора

. (1.2.5)

откуда при условии приближенно следует

. (1.2.6)

Обозначая через толщину воздушной прослойки в том месте, где наблюдается-е светлое кольцо, при помощи теоремы Пифагора аналогично получаем

,

откуда при условии приближенно находим

. (1.2.7)

Из (1.2.6), (1.2.7) находим толщину воздушной прослойки между линзой и пластинкой

. (1.2.8)

Оптическая разность хода волн, отразившихся от выпуклой поверхности линзы и от пластинки, равна

, (1.2.9)

где учтено, что при отражении света от оптически более плотной среды фаза волны изменяется на . Применяя условие максимумов интенсивности света при интерференциис учетом (1.2.9) получаем

,

что позволяет при помощи (1.2.8) получить

. (1.2.10)

Подстановка в (1.2.10) числовых значений дает

.

Задача 3. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления , при которой свет с длиной волныиспытывает максимальное отражение, а свет с длиной волныне отражается совсем. Угол падения света.

Решение

Запишем условия максимумов и минимумов интенсивности света, отраженного от тонкой пленки для первой и второй волны соответственно

(1.2.11)

, (1.2.12)

где и- числа натурального ряда,- толщина пленки. Так как левые части уравнений (1.2.11), (1.2.12) одинаковы, можно приравнять их правые части, что после подстановки значений длин волн позволяет получить уравнение, связывающееи

. (1.2.13)

Левая часть уравнения (1.2.13) кратна 8, а наименьшее натуральное значение , при котором это условие будет выполняться для правой части, равно 4, следовательно, условиям задачи отвечает такое решение этого уравнения:. Подстановка любого из этих значений в формулы (1.2.11), (1.2.12) позволяет найти минимальную толщину пленки, например,

.

Задача 4. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого можно менять в процессе опыта. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны соответственнои. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается прии следующий максимум при.

Решение

Поскольку в центре дифракционной картины наблюдаются максимумы освещенности, то для данного положения экрана отверстие в диафрагме открывает в обоих случаях нечетное число зон Френеля. Предположим, что в первом случае открыто зон Френеля, тогда во втором случае открытыми окажутсязоны. Запишем формулу радиуса зон Френеля для сферической волны (источник света – точечный) для этих двух случаев:

,. (1.2.14)

Вычитая первое уравнение (1.2.14) из второго и решая полученное уравнение относительно длины волны, находим

.

Задача 5. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом , если угол между направлениями на дифракционные максимумы первого и второго порядка составляет.

Решение

Традиционное в подобных задачах приближение малых углов дифракции с учетом значения угла в условии использовать неправомерно, поэтому будем решать задачу без помощи этого приближения. Запишем условия дифракционных максимумов первого и второго порядка при дифракции на решетке

,. (1.2.15)

Решая уравнения (1.2.15) относительно углов и находя разность углов дифракции, получаем

,

откуда при помощи тождества

следует

. (1.2.16)

Таким образом, для определения длины волны необходимо решить уравнение

. (1.2.17)

Обозначим выражение в скобках в (1.2.17) через , возведем его в квадрат и применим формулы (1.2.15) и основное тригонометрическое тождество. В результате получим

. (1.2.18)

С учетом соотношения преобразуем (1.2.18) к виду

.

Таким образом, и решение задачи записывается в виде

.

Задача 6. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения на естественную грань монокристалла, плотность которого. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения.

Решение

Воспользуемся условием Вульфа – Брэггов, которое определяет дифракционные максимумы при отражении рентгеновского излучения от кристаллографических плоскостей

. (1.2.19)

Для определения расстояния между плоскостями кристалла учтем, что кристалл поваренной соли имеет ионную структура с кубической элементарной ячейкой. В такой ячейке каждый ион принадлежит восьми соседним ячейка, следовательно, одной ячейке принадлежит половина иона натрия и половина иона хлора, то есть половина молекулы поваренной соли. Так как масса молекулы поваренной соли может быть найдена по формуле

,

где - молярная масса поваренной соли, то для плотности кристалла получаем выражение

,

откуда находим длину ребра элементарной ячейки (расстояние между кристаллографическими плоскостями)

. (1.2.20)

Подстановка (1.2.20) в (1.2.19) приводит к расчетной формуле длины волны излучения

.

Задача 7. На пути частично поляризованного пучка поместили николь. При повороте николя на угол из положения, соответствующего максимуму пропускания света, интенсивность прошедшего света уменьшилась враза. Найти степень поляризации падающего света.

Решение

Падающий на николь свет можно представить в виде смеси естественного и плоскополяризованного. При любом положении николя интенсивность прошедшего через него естественного света будет уменьшаться в два раза, а интенсивность поляризованной составляющей буде подчиняться закону Малюса. Тогда для начального положения николя получаем

,

а для конечного

.

Используя условие , получаем для отношения интенсивностей естественной и поляризованной составляющей формулу

. (1.2.21)

Очевидно, что максимальная интенсивность света, прошедшего через николь

, (1.2.22)

а минимальная

. (1.2.23)

Подставляя (1.2.22), (1.2.23) в формулу степени поляризации, получаем

,

откуда с учетом (1.2.21) следует

.

Задача 8. Свет проходит через систему из двух скрещенных николей, между которыми расположена кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оптической оси. Определить минимальную толщину пластинки, при которой свет с длиной волны будет полностью задерживаться этой системой, а свет с длиной волны- пропускаться наполовину. Удельное вращение для этих длин волн равно соответственнои.

Решение

Будем предполагать николи идеальными и пренебрежем поглощением света в пластинке. Согласно условию плоскости пропускания николей образуют друг с другом прямой угол, поэтому для первой длины волны толщина пластинки должна быть такой, чтобы повернуть плоскость поляризации света, прошедшего через первый николь, на угол

, (1.2.24)

так как в это случае плоскость колебаний светового вектора будет перпендикулярна плоскости пропускания второго николя. Для второй длины волны поворот плоскости поляризации должен быть на меньше, так как в этом случае плоскость поляризации волны, прошедшей через первый николь, совпадет с плоскостью пропускания второго николя, и она полностью пройдет через него, то есть

(1.2.25)

(число в формулах (1.2.24), (1.2.25) является натуральным).

Применяя формулу угла поворота плоскости поляризации для двух данных волн, получаем

,

откуда следует

.

Задача 9. Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластины толщины . Показатель поглощения вещества пластины линейно изменяется вдоль нормали к ее поверхности от значениядо. Коэффициент отражения от каждой поверхности пластины равен. Пренебрегая вторичными отражениями, определить коэффициент пропускания такой пластины.

Решение

Обозначим интенсивность света, падающего на пластину через , тогда интенсивность света после отражения от передней поверхности пластины составит

. (1.2.26)

Рассмотрим теперь распространение света внутри пластины. Согласно условию изменение интенсивности света, прошедшего расстояние внутри пластины составит

. (1.2.27)

Так как закон изменения - линейный, то с учетом данных условия можно получить

. (1.2.28)

Таким образом, для решения задачи о распространении волны внутри вещества необходимо решить уравнение

. (1.2.29)

с начальным условием

. (1.2.30)

Уравнение (1.2.29) легко интегрируется при помощи разделения переменных, что дает

. (1.2.31)

Подстановка в (1.2.31) начального условия (1.2.30) позволяет найти , а подстановкадает интенсивность света перед отражением на задней поверхности пластины

. (1.2.32)

Учитывая отражение на задней поверхности пластины, получаем

. (1.2.33)

Объединяя формулы (1.2.26), (1.2.32), (1.2.33), находим коэффициент пропускания пластины

.

Задача 10. По некоторой прямой движутся в одном направлении наблюдатель со скоростью и впереди него источник монохроматического света со скоростью. Источник излучает свет на частоте. Найти частоту света, которую зафиксирует наблюдатель.

Решение

Определим относительную скорость удаления источника от наблюдателя, воспользовавшись соотношением специальной теории относительности

. (1.2.34)

В данном случае скорость объекта (источника) в неподвижной системе отсчета равна, скорость подвижной системы(наблюдателя) относительно неподвижной равна, тогда скорость источника относительно наблюдателя будет равна

.

Тогда и подстановка этого значения в формулу эффекта Доплера с учетомдает

.

Задача 11. Определить минимальную кинетическую энергию, которой должен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления возникло черенковское излучение.

Решение

Воспользуемся условием излучения Вавилова – Черенкова , из которого следует

. (1.2.35)

Подставляя выражение (1.2.35) в формулу кинетической энергии специальной теории относительности, получаем

. (1.2.36)

Подстановка в (1.2.36) числовых значений дает

.

32