Физика / Методички / Оптика и квантовая физика / Методичка3

где - номера орбит, - радиус й орбиты, а - скорость электрона на ней, - постоянная Планка.

Радиусы электронных орбит в атоме водорода (водородоподобном ионе)

,

где - заряд ядра, - радиус первой орбиты (для атома водорода ( - первый боровский радиус).

Энергия электрона в стационарном состоянии атома водорода (водородоподобного иона)

,

где - энергия основного состояния (для атома водорода ).

Согласно гипотезе де Бройля любой частице, обладающей импульсом, сопоставляется волновой процесс с длиной волны

.

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля

, .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координат и импульсов

, , .

Соотношение неопределенностей для энергии и времени

.

Вероятность нахождения частицы в элементе объема вычисляется по формуле

,

где - волновая функция частицы.

Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объеме определяется по формуле

.

Условие нормировки волновой функции имеет вид

.

Среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле

.

Уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид

,

где - оператор Лапласа, - потенциальная функция частицы в силовом поле, - мнимая единица.

Стационарное уравнение Шредингера записывается в виде

,

где - полная энергия частицы.

Собственные функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме имеют вид

,

где - ширина ямы. Собственные значения энергии для этой задачи записываются в виде

.

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить индукцию магнитного поля в центре атома водорода, обусловленного движением электрона по первой боровской орбите.

Решение

Запишем уравнение движения электрона в атоме (второй закон Ньютона)

(2.2.1)

и правило квантования электронных орбит с учетом того, что движение происходит по первой орбите ()

. (2.2.2)

Решая систему (2.2.1), (2.2.2), найдем радиус орбиты и скорость электрона на ней

, (2.2.3)

. (2.2.4)

При помощи формул (2.2.3), (2.2.4) находим период обращения электрона

.

Сила эквивалентного тока, вызванного вращением электрона равна

. (2.2.5)

Используя теперь формулу индукции в центре кольца с током, при помощи (2.2.3), (2.2.5) находим

.

Подстановка числовых значений приводит к ответу

.

Задача 2. Найти квантовое число , соответствующее возбужденному состоянию иона , если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн и .

Решение

Воспользуемся вторым постулатом Бора, согласно которому энергия излученного (поглощенного) кванта света равна разности энергий стационарных состояний атома

. (2.2.6)

Перейдем в этом выражении от частоты к длине волны по формуле и используем выражение для энергии стационарного состояния водородоподобного иона

. (2.2.7)

В результате получим

, (2.2.8)

где - постоянная Ридберга. Согласно условию задачи атом переходит в основное состояние в два этапа, излучая последовательно два фотона. Пусть квантовое число, соответствующее промежуточному состоянию атома, равно . Тогда, применяя два раза уравнение (2.2.8), получаем

, (2.2.9)

. (2.2.10)

Складывая уравнения (2.2.9), (2.2.10), находим

,

откуда следует

.

Задача 3. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра .

Решение

Предположим, что столкновение электрона с антикатодом является абсолютно неупругим, и в результате электрон полностью теряет свою кинетическую энергию, передавая ее фотону рентгеновского излучения. Тогда по закону сохранения энергии

, (2.2.11)

где с учетом релятивистского характера движения электрона для его кинетической энергии необходимо использовать формулу

. (2.2.12)

Решая систему (2.2.11), (2.2.12) относительно скорости электрона, после алгебраических преобразований находим

. (2.2.13)

С учетом релятивистской формулы для импульса выражение длины волны де Бройля примет вид

, (2.2.14)

и после подстановки (2.2.13) в (2.2.14) получаем

.

Подстановка в (2.2.14) числовых значений дает

.

Задача 4. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения на естественную грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла . При некотором ускоряющем напряжении наблюдали максимум зеркального отражения. Найти , если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в раза. Считать выполненным условие .

Решение

Воспользуемся формулой Вульфа – Брэггов, определяющей условия дифракционных максимумов при дифракции на кристалле

. (2.2.15)

Применяя формулу (2.2.15) для двух случаев падения электронного пучка, получаем

, , (2.2.16)

где и - дебройлевские длины волн электронов, - номер максимума зеркального отражения.

Запишем выражение для длины волны де Бройля, используя классическую формулу связи импульса и кинетической энергии частицы

, (2.2.17)

где согласно теореме о кинетической энергии

(2.2.18)

(предполагаем, что начальной кинетической энергией электронов можно пренебречь).

Используя (2.2.17), (2.2.18), дебройлевские длины волн электронов можно записать в виде

, . (2.2.19)

Решая систему уравнений (2.2.16), (2.2.19), находим величину ускоряющего напряжения

.

Подстановка данных задачи дает

.

Задача 5. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

Решение

Полагая неопределенности координаты и импульса равными координате и импульсу , , из соотношения неопределенностей находим

. (2.2.20)

Полная энергия электрона в атоме складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии в кулоновском поле ядра

. (2.2.21)

С учетом (2.2.20) формулу для полной энергии можно записать в виде

. (2.2.22)

Так как по условию энергия электрона должна быть минимальной, исследуем на экстремум:

. (2.2.23)

Легко убедиться при помощи достаточного условия экстремума, что найденное значение обеспечивает минимум полной энергии электрона

. (2.2.24)

Расчеты по формулам (2.2.23), (2.2.24)

,

,

показывают, что в результате получился первый боровский радиус и энергия основного состояния атома водорода.

Задача 6. Найти решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы массы , движущейся в положительном направлении оси с импульсом .

Решение

В случае свободного одномерного движения частицы () нестационарное уравнение Шредингера записывается в виде

. (2.2.25)

Будем решать данное уравнение методом разделения переменных, полагая, что искомая функция является произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной координаты, а другая – только от времени:

. (2.2.26)

Подставляя (2.2.26) в (2.2.25) и разделяя переменные, получаем

. (2.2.27)

Так как левая часть (2.2.27) зависит только от времени, а правая – только от пространственной координаты, уравнение (2.2.27) может выполняться только в том случае, когда обе части этого уравнения равны одной и той же константе. Обозначим эту константу и запишем два получившихся уравнения

, . (2.2.28)

Сравнение второго уравнения (2.2.28) со стационарным уравнением Шредингера позволяет сделать вывод, что константа не что иное, как энергия частицы . С учетом этого общие решения уравнений (2.2.28) можно представить в виде

, .

Подставляя полученные решения в (2.2.26), находим

. (2.2.29)

Используя известные соотношения , , , (2.2.29) можно переписать в виде

, (2.2.30)

из которого следует, что первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в положительном направлении оси , а второе – волну, движущуюся в отрицательном направлении этой оси. Согласно условию и можно записать окончательный ответ

.

Задача 7. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна . Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты в середине ямы.

Решение

Согласно условию задачи потенциальная функция имеет вид

при и при . Волновая функция должна обращаться в нуль на границах ямы

, , (2.2.31)

и удовлетворять одномерному стационарному уравнению Шредингера внутри ямы

. (2.2.32)

Введем обозначение ; тогда решение уравнения (2.2.32) записывается в виде

. (2.2.33)

Подстановка (2.2.33) в условия (2.2.31) дает систему линейных однородных уравнений

, . (2.2.34)

Система (2.2.34) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, что приводит к уравнению

,

решение которого записывается в виде

. (2.2.35)

В случае, когда - нечетное, из системы (2.2.34) получаем , если же - четное, то аналогично находим . Таким образом, решение задачи имеет вид

, ; ,

Условие нормировки волновой функции позволяет определить амплитуду волновой функции:

(аналогично вычисляется ). Тогда нормированная волновая функция записывается в виде

;

Задача 8. Частица массы находится в одномерном потенциальном поле в стационарном состоянии , где и - постоянные (). Найти энергию частицы и вид функции , если .

Решение

Воспользуемся уравнением Шреденгера для стационарных состояний

(2.2.36)

и подставим в него выражение для волновой функции и ее второй производной . После сокращения на экспоненту получим уравнение

. (2.2.37)

Используя условие , из (2.2.37) находим

. (2.2.38)

Подставляя (2.2.38) в (2.2.37), находим вид потенциальной функции

.

Задача 9. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид , где - расстояние этой частицы до силового центра; - некоторая постоянная. Определить среднее расстояние частицы до силового центра.

Решение

Предварительно найдем значение нормировочного коэффициента в выражении волновой функции, для чего используем условие нормировки вероятностей

. (2.2.39)

Учитывая, что элемент объема определяется по формуле , получаем

.

Полагая и , и интегрируя по частям, получаем

. (2.2.40)

Первое слагаемое в (2.2.40) равно нулю, а интеграл во втором слагаемом можно вычислить при помощи известного соотношения

,

с помощью которого получаем

,

что позволяет из (2.2.40) получить уравнение

. (2.2.41)

Решая (2.2.41), находим

. (2.2.42)

Для определения среднего расстояния от частицы до силового центра воспользуемся формулой

. (2.2.43)

Подставляя в (2.2.43) выражение для волновой функции с учетом (2.2.42) и интегрируя по частям, получаем

.

Индивидуальные задания

2.2.1. Максимальная длина волны спектральной линии серии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определить максимальную длину волны линии серии Бальмера. Ответ: .

2.2.2. Определить число спектральных линий, испускаемых атомарным водородом, возбужденным на n-й энергетический уровень. Ответ: .

2.2.3. Используя теорию Бора для атома водорода, определить: 1)радиус ближайшей к ядру орбиты; 2)скорость движения электрона по этой орбите. Ответ: ; .

2.2.4. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода. Ответ: .

2.2.5. Определить изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной волны . Ответ: .

2.2.6. Определить при помощи теории Бора: 1)частоту вращения электрона, находящегося на первой боровской орбите; 2)эквивалентный ток. Ответ: ; .

2.2.7. Определить частоту света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом , если радиус орбиты электрона изменился в раз. Ответ: .

2.2.8. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода , определить в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера. Ответ: .