Примеры решения задач

Задача 1. Излучение Солнца близко по своему спектральному составу к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны . Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1%.

Решение

Воспользуемся законом смещения Вина и определим температуру поверхности Солнца

. (2.1.1)

Тогда энергетическая светимость Солнца по закону Стефана – Больцмана и при помощи (2.1.1) запишется в виде

. (2.1.2)

Умножая (2.1.2) на площадь излучающей поверхности и время, находим энергию, излучаемую Солнцем

. (2.1.3)

Для определения массы, теряемой Солнцем вследствие излучения, воспользуемся формулой Эйнштейна для взаимосвязи массы и энергии, что с учетом (2.1.3) позволит записать

. (2.1.4)

Учитывая, что площадь излучающей поверхности (сферы) , из (2.1.4) находим

Чтобы оценить время уменьшения массы Солнца на 1%, предположим, что в течение этого времени энергия, излучаемая Солнцем, не изменяется, тогда

.

Задача 2. Определить установившуюся температуру зачерненного шарика, расположенного на половине расстояния от Земли до Солнца. Температуру поверхности Солнца принять равной.

Решение

Очевидно, что находясь в состоянии теплового равновесия, шарик должен получать в единицу времени такую же энергию излучения от Солнца, которую сам излучает в окружающее пространство. Тогда, обозначая мощность солнечного излучения, упавшего на шарик через , а мощность, излученную шариком – через, имеем

. (2.1.5)

Предполагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, выражение для мощности солнечного излучения можно записать в виде

, (2.1.6)

где - температура поверхности Солнца,- площадь поверхности Солнца. Долю мощности солнечного излучения, приходящуюся на поверхность шарика, найдем из пропорции

, (2.1.7)

где - площадь круга радиуса, равного радиусу шарика,- расстояние от Земли до Солнца. Из (2.1.6), (2.1.7) находим

. (2.1.8)

Определим теперь мощность излучения шарика, предполагая, что он тоже излучает как абсолютно черное тело, а температура всех его точек одинакова. Тогда получим

. (2.1.9)

Из (2.1.5), (2.1.8), (2.1.9) следует

.

Используя табличные данные, получаем ответ

.

Задача 3. Медный шарик, удаленный от других тел, под действием света, падающего на него, зарядился до потенциала . Определить длину волны света.

Решение

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна

. (2.1.10)

Вследствие вылета электронов с шарика под действием света он приобретает положительный заряд, в результате чего вокруг него создается электрическое поле, тормозящее движение вылетевших электронов. Шарик будет заряжаться до тех пор, пока максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не станет равной работе тормозящего электрического поля при перемещении электронов на бесконечно большое расстояние. Так как потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, по теореме о кинетической энергии получаем

,

что с учетом (2.1.10) позволяет найти длину волны света

. (2.1.11)

Подставляя в (2.1.11) числовые значения (работа выхода электронов из меди равна ), находим

.

Задача 4. Плоская поверхность освещается светом с длиной волны . Красная граница фотоэффекта для данного вещества. Непосредственно у поверхности создано однородное магнитное поле с индукцией, линии которого параллельны поверхности. На какое максимальное расстояние от поверхности смогут удалиться фотоэлектроны, если они вылетают перпендикулярно поверхности?

Решение

Воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и определим максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов

. (2.1.12)

Используя формулу для красной границы фотоэффекта

,

выражение (2.1.12) можно записать в виде

. (2.1.13)

После вылета с поверхности электроны попадает в перпендикулярное к вектору скорости однородное магнитное поле, следовательно, движутся в нем по окружности, и их максимальное удаление от поверхности будет равно радиусу этой окружности. Радиус окружности можно найти, применяя второй закон Ньютона и используя формулу Силы Лоренца

. (2.1.14)

Тогда из (2.1.13), (2.1.14) находим максимальное удаление электронов от поверхности

.

Вычисления дают

.

Задача 5. Катод фотоэлемента освещают монохроматическим светом. При задерживающем напряжении между катодом и анодом ток в цепи прекращается. При изменении длины волны света враза потребовалось подать на электроды задерживающую разность потенциалов. Определить работу выхода электронов из материала катода.

Решение

Используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и формулу для задерживающего напряжения, получаем

, (2.1.15)

, (2.1.16)

где длины волн связаны условием

. (2.1.17)

Решая систему уравнений (2.1.15) – (2.1.17), находим

.

Задача 6. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны .

Решение

Предварительно сравним энергию фотона с энергией покоя электрона

,

.

Вычисления показывают, что энергия фотона больше энергии покоя электрона, следовательно, при решении задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности. Приравнивая формулы импульса фотона и релятивистского электрона, получаем

. (2.1.18)

Решая (2.1.18) относительно скорости электрона, получаем

.

Задача 7. В космосе движется пылинка плотностью , поглощающая весь падающий на нее свет. Зная мощность излучения Солнца, найти радиус пылинки, при котором ее гравитационное притяжение к Солнцу компенсируется силой светового давления.

Решение

Согласно условию задачи сила всемирного тяготения должна уравновешиваться силой светового давления, поэтому

. (2.1.19)

По закону всемирного тяготения

, (2.1.20)

где массу пылинки можно записать в виде

; (2.1.21)

здесь - радиус пылинки,- расстояние от пылинки до Солнца.

Сила светового давления равна

, (2.1.22)

где проекция поверхности пылинки на плоскость, перпендикулярную солнечным лучам, имеет площадь

, (2.1.23)

а давление связано с мощностью излучения , пронизывающего поверхность пылинки формулой

. (2.1.24)

Мощность излучения, приходящуюся на пылинку, можно выразить через мощность солнечного излучения при помощи пропорции

. (2.1.25)

Исключая из системы (2.1.19) – (2.1.25) неизвестные, получаем формулу для радиуса пылинки

.

Подстановка числовых значений дает

.

Задача 8. В результате столкновения фотона и протона, летевших по взаимно перпендикулярным направлениям, протон остановился, а длина волны фотона изменилась на . Чему был равен импульс фотона? Скорость протона считать.

Решение

Воспользуемся для решения задачи законами сохранения импульса и энергии. Пусть первоначальный импульс фотона направлен по оси

, импульс протона– по оси, а импульс фотона после рассеянияобразует с осьюугол(рис. 2.1.1). Учитывая, что движение протона по условию можно описывать классическими формулами, по закону сохранения энергии имеем

. (2.1.26)

Рис. 2.1.1

Закон сохранения импульса в проекциях на оси идает

,. (2.1.27)

Изменение длины волны рассеянного фотона по условию удовлетворяет формуле

. (2.1.28)

Выразим из (2.1.27) и, возведем эти уравнения в квадрат, сложим и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. В результате получим

. (2.1.29)

Исключая из (2.1.26), (2.1.29) при помощи (2.1.28), преобразуем эти уравнения к виду

, (2.1.30)

. (2.1.31)

Исключая теперь из системы (2.1.30), (2.1.31) скорость протона, находим длину волны фотона до рассеяния

,

после чего определяем первоначальный импульс фотона

.

Задача 9. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами и, отличаются друг от друга враза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

Решение

Воспользуемся формулами изменения длины волны при комптоновском рассеянии для двух углов рассеяния, упомянутых в условии

,. (2.1.32)

Деля второе уравнение (2.1.32) на первое, получаем

. (2.1.33)

Решая (2.1.33), находим длину волны падающего на вещество излучения

.

Задача 10. Фотон с энергией, в раза превышающей энергию покоя электрона, рассеялся назад на неподвижном свободном электроне. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле с индукцией, предполагая, что линии индукции перпендикулярны вектору скорости электрона.

Решение

Запишем выражение изменения длины волны света при комптоновском рассеянии

. (2.1.34)

Перейдем в (2.1.34) от длин волн к энергиям при помощи соотношения и учтем, что угол рассеяния. В результате получим

, (2.1.35)

где - энергия покоя электрона. С учетом того, что, находим из (2.1.35) энергию рассеянного фотона

и кинетическую энергию электрона отдачи

. (2.1.36)

Как известно, радиус окружности, по которой электрон движется в магнитном поле, определяется по формуле

, (2.1.37)

где с учетом релятивистского характера движения электрона

. (2.1.38)

Используя релятивистскую формулу кинетической энергии

,

из (2.1.36) после алгебраических преобразований можно получить

,

что после подстановки в (2.1.37), (2.1.38) позволяет найти радиус кривизны траектории электрона

. (2.1.39)

Подстановка в (2.1.39) числовых значений дает

.

Задача 11. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на. Найти первоначальное напряжение на трубке.

Решение

Применим формулу длины волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра для случаев до и после изменения напряжения на трубке

,. (2.1.40)

Вычитая из первого уравнения (2.1.40) второе, находим

,

откуда следует формула первоначального напряжения на трубке

.