Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса.

Импульсом (или количеством движения) материальной точки (тела) называется произведение его массы на скорость

. (32)

Импульс системы тел складывается из импульсов тел, входящих в эту систему

.

Импульсом силы называется произведение силы на время ее действия

. (33)

Скорость изменения импульса системы тел равна сумме внешних сил, действующих на эту систему

.

Отсюда следует, что изменение импульса системы тел равно интегралу от суммы сил по времени

. (34)

Для постоянных, не зависящих от времени сил, выражение (34) упрощается

. (35)

Из (34) следует, что, если , то, т.е. импульс системы тел не изменяется, если сумма внешних сил, действующих на эту систему, равна нулю.

Если сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю, то система называется замкнутой.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел сохраняется.

Центр масс. Закон движения центра масс.

Центром масс системы материальных точек называется точка , радиус-векторкоторой определяется из соотношения

, (36)

и - масса и радиус-вектортой точки,- масса системы.

Соответственно координаты центра масс равны

, и. (37)

Для сплошного тела массой координаты его центра масс

, ,, (38)

- элемент массы тела, - координаты этого элемента.

Закон движения центра масс: произведение массы системы на ускорениецентра масс равно сумме внешних сил, действующих на эту систему

. (39)

Динамика вращательного движения твердого тела.

1. Момент силы.

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силыотносительно какой-либо точкиназывается векторное произведение

, (40)

- радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.5). Единица измерения момента силы.

Величина момента силы

,

или можно записать

, (41)

где - плечо силы ( кратчайшее расстояние от точкидо линии действия силы).

Рис.5.

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, осьz, называется моментом силыотносительно этой оси. Чтобы определить момент силыотносительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис.6), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рис.6.

2. Момент инерции тела.

Моментом инерции тела относительно какой-либо осиz называется сумма произведений масс точек этого тела на квадраты расстояний от этих точек до оси

, (42)

- масса -той точки ,- кратчайшее расстояние от-той точки до осиz.

Для сплошных тел момент инерции определяется через интеграл

, (43)

- расстояние от элемента массы тела до осиz.

Моменты инерции однородных тел простой геометрической формы обычно рассчитывают по формуле (43), а сложной определяют экспериментально. В таблице 1 приведены моменты инерции некоторых тел.

Теорема Штейнера. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масстела, то момент инерции этого тела относительно оси, параллельной, равен

, (44)

- масса тела, - кратчайшее расстояние между осямии.

2. Основной закон динамики вращательного движения.

Для тела, вращающегося вокруг оси z,

, (45)

- момент инерции тела относительно оси вращения z, - угловое ускорение тела,- сумма моментов сил, приложенных к телу, и рассчитанных относительно оси вращения,- индекс суммирования. Уравнение (45) представляет собойосновной закон динамики вращательного движения.

3. Условия равновесия тел.

Из 2-го закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движенияследуют условия равновесия тел: для покоящегося тела

1. сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,

,

или, если использовать проекции сил, то

и ; (46)

2. сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю

. (47)

Таблица 1. Моменты инерции некоторых тел.

4. Момент импульса .

Моментом импульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета, называют векторное произведение

,

- радиус-вектор материальной точки (рис.7), - ее импульс.

Рис.7.

Величина момента импульса материальной точки

, (48)

где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .

Для вращающегося тела момент импульса относительно оси вращения

равен

, (49)

- момент инерции тела относительно оси и- его угловая скорость.

Скорость изменения момента импульса системы тел равна сумме моментов сил, приложенных к этой системе

.

Тогда

. (50)

Если моменты сил постоянны, то уравнение (50) можно записать в виде

, (51)

т.е. изменение момента импульса системы тел относительно какой-либо оси равно сумме моментов сил, действующих на эту систему, умноженной на время.

Отсюда следует закон сохранения момента импульса: момент импульса системы тел относительно осисохраняется, если сумма моментов сил, действующих на эту систему, равна нулю.