Примеры решения задач

Тема «Кинематика»

Пример 1. Частица движется по окружности радиусом = 50 см так, что зависимость ее путиот времениимеет видм. Определить скоростьи ускорениечастицы в момент=2 с. Найти уголмежду скоростью и ускорением частицы в заданный момент времени.

Дано: =0,5 м,м ,=2 с.Найти: ,,.

Решение. Скорость представляет собой производную от пути по времени

м/c .

В момент =2 с,

м/c .

Тангенциальное ускорение

м/c², м/c² .

Нормальное ускорение

м/c².

Полное ускорение м/c² .

Скорость инаправлены по касательной к окружности,- к ее центру (рис.10).

Рисунок 10 –Направления скорости и ускорения.

; .

Ответ: м/c , м/c² , .

Пример 2. Цилиндр радиусом катится без скольжения со скоростью(рис.11). Определить скорости точек А и В, а также радиусы кривизны их траекторий.

Дано: ,.Найти: ,,,.

Рис. 11.

Решение.

1). Качение цилиндра можно представить как сумму двух движений: поступательного с постоянной скоростью (рис.12,) и вращательного вокруг центра масс(рис.12,).

Рис.12, . Рис.12,.

Т.к. скорость точки К касания цилиндра с землей равна нулю, то значит, при вращении точки обода цилиндра движутся также со скоростью . В результате сложения скоростей при поступательном и вращательном движениях находим скорости точеки

; .

Направления векторов ипоказаны на рисунке 13.

Рис.13.

2). Ускорение точек иобусловлено вращением цилиндра,

.

Векторы инаправлены к центруцилиндра. Нормальное ускорение точкиперпендикулярно скорости(рис.13),

.

Нормальное ускорение точки равно ее полному ускорению

.

Т.к. радиус кривизны траектории , то

,

.

Ответ: ,.,.

Тема «Законы Ньютона»

Пример 3. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Пройденный телом путьменяется со временемпо уравнениюм. Определить коэффициент трениятела о плоскость.

Дано: м,.Найти: ..

Решение. Скорость тела равна

м/c.

Ускорение тела

м/c².

Рис.14.

При движении на тело действуют сила тяжести , сила трения, сила реакции опоры(рис.14).

Запишем 2-ой закон Ньютона в проекциях на осиx и y :

(x) , (1)

(y) . (2)

Из (1): ,

из (2): .

Т.к. , то коэффициент трения

.

Ответ: .

Пример 4. Сфера радиусом =1 м равномерно вращается вокруг вертикального диаметра с частотой 36 мин^-1. Внутри сферы находится шарик массой =50 г. Найти, на какой высоте, отсчитываемой от нижней точки сферы, шарик займет положение равновесия относительно сферы. Определить силу давления шарика на сферу в этом положении.

Дано: =1 м,=36 мин^-1=0,6 с^-1, =0,05 кг.Найти: ,.

Решение: На шарик действуют сила тяжести и реакция опоры(рис.15).

Рис.15.

Т.к. вращение равномерное, то тангенциальное ускорение шарика

.

Полное ускорение шарика равно нормальному,

,

и направлено к центру его траектории. Т.к. радиус траектории , то

. (1)

Запишем 2-ой закон Ньютона для шарика в проекции на оси x и y

(x) , (2)

(y) . (3)

Отсюда и . Поделим два последних уравнения одно на другое,

.

Подставим из (1) выражение для ускорения

.

Отсюда .

Т.к. , то

.

м = см.

Из (3) найдем, что Н.

Сила давления шарика на сферу численно равна силе реакции опоры, Н.

Ответ: м ;Н.

Тема «Импульс тела. Центр масс»

Пример 5. Шарик массой 50 г, движущийся со скоростью =2 м/с под угломк стенке, абсолютно упруго соударяется с ней. Продолжительность удара=0,01 с. Определить среднюю силу, действующую на стенку во время удара.

Дано: =0,05 кг,=2 м/c, ,=0,01c. Найти: .

Решение. Изменение количества движения (импульса) шарика равно сумме импульсов действующих на него сил:

. (1)

Рис.16.

На шарик действуют сила тяжести и, во время удара, сила реакции стенки(рис.16).

Спроецируем уравнение (1) на ось x:

.

Отсюда

Н.

Т.к. сила, действующая на стенку, численно равна силе реакции опоры, то

10 Н.

Ответ: 10 Н.

Пример 6. Четыре точечные массы ,,инаходятся в вершинах квадрата со стороной(рис.17). Определить положение центра масс данной системы.

Дано: ,,,,.Найти: -?-?

Рис.17.

Решение. Расположим начало координатных осей x и y в точке . Тогда координаты центра массравны

,

.

Величина радиус-вектора центра масс

.

Ответ: ,.

Тема «Динамика вращательного движения»

Пример 7. На барабан массой =3 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой=2 кг (рис.18). Найти ускорениегруза и силу натяженияшнура, считая барабан однородным диском. Трением пренебречь.

Дано: =3 кг,=2 кг,

барабан – диск. Найти: ,.

Решение. На груз действуют

сила тяжести и сила

натяжения шнура (рис.19) .

Т.к. груз совершает

поступательное движение,

запишем для него 2-ой закон Ньютона Рис.18

в проекции на ось y, направленную

вертикально вниз, Рис.18.

. (1)

На барабан действуют сила натяжения , сила тяжестии реакция опоры(рис.20).

Рис.19. Рис. 20.

Т.к. барабан вращается, воспользуемся основным законом динамики вращательного движения и запишем его относительно оси вращения, проходящей через точку:

, (2)

- радиус барабана. Моменты сил иотносительно точкиравны нулю.

Т. к. барабан – однородный диск, его момент инерции

.

Угловое ускорение барабана . Подставивив уравнение (2), получаем

. (3)

Отсюда . (4)

Подставим в (1):

.

Тогда .

Отсюда ускорение

м/с².

Сила натяжения шнура из уравнения (4):

Н.

Ответ: м/c² , Н.

Пример 8. Лестница массой =16 кг приставлена к вертикальной стене под углом 20^° к ее поверхности. На лестнице на расстоянии ее длины , от нижнего конца, стоит человек массой=75 кг. Каким должен быть коэффициент трения между основанием лестницы и поверхностью пола, чтобы лестница не соскользнула? Трением между лестницей и стенкой пренебречь.

Дано: =16 кг,=75 кг,=20°,.Найти: .

Рис. 21.

Решение. Обозначим - длина лестницы. На лестницу с человеком действуют сила тяжести лестницы, человека, сила тренияи реакции опори(рис. 21).

Т.к. система находится в равновесии, то сумма действующих на нее сил и моментов сил должна быть равна нулю.

Запишем условие равенства нулю суммы сил в проекции на ось y:

.

Отсюда .

Запишем условие равенства нулю моментов сил, относительно точки :

.

Сокращая на и учитывая, что, получаем

.

Отсюда ==

=

Ответ: .

Тема «Работа. Механическая энергия»

Пример 9. Тонкий стержень длиной =0,8 м может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей его верхний конец. Стержень отклонили на угол=60^° и отпустили (рис.22). Определить угловую скорость стержня, линейную скорость его нижнего конца и скорость центра массв момент прохождения стержнем положения равновесия.

Рис. 22.

Дано: =0,8 м,=60^°. Найти: ,,.

Решение.

Изменение кинетической энергии стержня равно работе сил, приложенных к нему:

(1)

(теорема о кинетической энергии).

В начальный момент стержень неподвижен, =0.

В момент прохождения положения равновесия ,

- момент инерции однородного стержня относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса . Тогда

. (2)

На стержень действуют сила тяжести и реакция опоры. Силане совершает работы, т.к. точка ее приложения неподвижна. Работа силы тяжести

.

Т.к. , то

. (3)

Подставляя в (1) уравнения (2) и (3), получаем

.

Отсюда .

Скорость точки ,м/с.

Скорость точки ,м/с.

Ответ: м/с,м/с.

Пример 10. Шар, движущийся со скоростью =4 м/с, закатывается на наклонную плоскость, составляющую угол= 30^° с горизонтом (рис.23). Какое расстояние пройдет шар по наклонной плоскости за счет его кинетической энергии? Трением пренебречь.

Дано: =4 м/с,= 30^° . Найти: .

Решение. Применим теорему о кинетической энергии:

. (1)

В конце движения шар останавливается, поэтому .

Начальная кинетическая энергия шара

, (2)

т.к. движение шара складывается из поступательного и вращательного. В формуле (2) - скорость центра массшара (рис.23).

Момент инерции шара , его угловая скорость.

Рис. 23.

Тогда (3)

Сила реакции опоры работы не совершает. Работа силы тяжести

. (4)

Подставляя выражения для ив (1), получаем

.

Отсюда м.

Ответ: м.

Тема «Уравнения гидродинамики»

Пример 11. Вода из трубы диаметром =5 см, расположенная на глубине 1 м, поступает в здание под давлением 3 атм со скоростью 0,5 м/с. На верхнем этаже на высоте 10 м труба сужается до диаметра=2,5 см. Вычислить скорость течения и давление в трубе на верхнем этаже (вязкостью воды пренебречь).

1 атм=101,3∙10³ Па.

Дано: =5 см=5∙10^-2 м, =2,5 см=2,5∙10^-2 м, =3 атм=303,9∙10³ Па, =1 м,м/с,=10 м.Найти: ,.

Решение. Из уравнения неразрывности вычислим скорость движения воды в узком сечении трубы

.

Т.к. площади сечений и, то

м/с .

Уравнение Бернулли

=.

Отсюда

.

Подставим числовые данные, учитывая, что плотность воды кг/м³ ,

Па.

Ответ: м/с ,=204∙10³ Па.

Пример 12. Для измерения скорости протекания газа используют трубку Вентури (трубку с сужением, в которую врезан жидкостный манометр, рис.24).

Определить скорость движения газа в широкой части трубки, если известны плотностьгаза и плотностьжидкости, площадиисечений трубки, разность уровнейжидкости в манометре.

Дано: ,,,,.Найти: .

Решение. Т.к. трубка тока газа расположена горизонтально, то уравнение Бернулли для нее имеет вид

=, (1)

и - статическое давление газа в широком сечении 1 и в узком сечении 2.

Рис. 24.

Из (1):

. (2)

Разность статических давлений иуравновешивается гидростатическим давлением столбика жидкости высотой

. (3)

Из (2):

. (4)

Скорости исвязаны уравнением неразрывности

.

Отсюда . Подставимв (4):

.

Получаем .

Ответ: .