Динамика вращательного движения твердого тела.

1. Момент силы.

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силыотносительно какой-либо точкиназывается векторное произведение

, (40)

- радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.5). Единица измерения момента силы.

Величина вектора ,

,

где -угол между векторамии. Величинаназывается плечом силы.Плечо силы – это кратчайшее расстояние от точкидо линии действия силы. Момент силы определяется как произведение силы на плечо,

. (41)

Рисунок 5- К определению понятия момента силы относительно точки.

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, осьz, называется моментом силыотносительно этой оси. Чтобы определить момент силыотносительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис.6), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рисунок 6 - К определению понятия момента силы относительно оси.

2. Момент инерции тела.

Моментом инерции материальной точки массой относительно какой-либо осиz называется произведение массы точки на квадрат кратчайшего расстояния от этой точки до оси,

.

Соответственно, для системы материальных точек,

, (42)

- масса -той точки ,- кратчайшее расстояние от-той точки до осиz.

Для сплошных тел момент инерции определяется через интеграл

, (43)

- расстояние от элемента массы тела до осиz.

Единица измерения момента инерции – [ J ] =кг·м².

Моменты инерции однородных тел простой геометрической формы обычно рассчитывают по формуле (43), а сложной определяют экспериментально. В таблице 1 приведены моменты инерции некоторых тел.

Таблица 1. Моменты инерции некоторых тел.

Теорема Штейнера. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масстела, то момент инерции этого тела относительно оси, параллельной, равен

, (44)

- масса тела, - кратчайшее расстояние между осямии.

2. Основной закон динамики вращательного движения.

Для тела, вращающегося вокруг оси z,

, (45)

- момент инерции тела относительно оси вращения z, - угловое ускорение тела,- сумма моментов сил, приложенных к телу, и рассчитанных относительно оси вращения,- индекс суммирования. Уравнение (45) представляет собойосновной закон динамики вращательного движения.

3. Условия равновесия тел.

Из 2-го закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движенияследуют условия равновесия тел: для покоящегося тела

1. сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,

,

или, если использовать проекции сил, то

и ; (46)

2. сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю

. (47)

4. Момент импульса .

Моментом импульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета, называют векторное произведение

,

- радиус-вектор материальной точки (рис.7), - ее импульс.

Рисунок 7- К определению момента импульса материальной точки.

Величина момента импульса материальной точки

, (48)

где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .

Для вращающегося тела момент импульса относительно оси вращения

равен

, (49)

- момент инерции тела относительно оси и- его угловая скорость.

Скорость изменения момента импульса системы тел равна сумме моментов сил, приложенных к этой системе

.

Тогда

. (50)

Если моменты сил постоянны, то уравнение (50) можно записать в виде

, (51)

т.е. изменение момента импульса системы тел относительно какой-либо оси равно сумме моментов сил, действующих на эту систему, умноженной на время.

Отсюда следует закон сохранения момента импульса: момент импульса системы тел относительно осисохраняется, если сумма моментов сил, действующих на эту систему, равна нулю.