Лекция_1_МКТ

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ (МКТ)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. Плотность вещества,

, . (1)

- масса вещества в объеме .

2. Концентрация молекул,

, м^-3 . (2)

-число молекул в объеме .

3. Давление

, =Па (Паскаль). (3)

- сила, действующая на площадку , перпендикулярную направлению силы.

1мм.рт.ст.=133 Па.

4. Количество молекул (атомов) вещества, содержащее столько же молекул, сколько их содержит 12 грамм изотопа углерода , называется молем вещества.

Один моль вещества содержит молекул. Это число называется числом Авогадро . Масса моля вещества называется молярной массой . Молярная масса определяется по таблице Менделеева, например для воды ():

г/моль= кг/моль

Количество молей (количество вещества)

, моль. (4)

5. Масса одной молекулы . Плотность .

6. Температура по шкале Кельвина связана с температурой по Цельсию:

=+273 K .

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

Идеальным называется газ, удовлетворяющий трем условиям:

1. можно пренебречь взаимодействием молекул;

2. можно пренебречь собственным объемом молекул;

3. соударения молекул можно рассматривать как абсолютно упругие.

Азот N₂, кислород O₂ , водород H₂, пары воды H₂O и другие газы при условиях, близких к нормальным, удовлетворяют условиям идеальности.

Нормальные условия (н.у.):

температура t=0°С и давление p=760 мм.рт.ст.=101,3 кПа.

Законы идеального газа:

1. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

, (5)

-давление газа, - его объем, – масса газа, - молярная масса, =8,31 Дж/(моль·К) – газовая постоянная, – температура в Кельвинах.

Вводя постоянную Больцмана

=1,38·10^-23 Дж/K,

уравнение состояния также записывают в другом виде. Т.к.

= =, то

, (6)

- концентрация молекул.

2. Основное уравнение МКТ (связь давления с энергией поступательного движения молекулы).

, (7)

- средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Поступательное – это движение молекулы без учета ее вращения и колебаний атомов около положения равновесия.

- средняя квадратичная скорость молекул, .

Следствия из основного уравнения МКТ.

1. Перепишем уравнения (7) и (6) :

и .

Приравняем правые части. Получаем связь средней кинетической энергии поступательного движения молекул с температурой:

. (8)

2. Сравнивая уравнение (8) и выражение ,

получаем, что средняя квадратичная скорость молекул

.

Масса одной молекулы , а .

Тогда можно записать как

.

3. Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений

. (8)

Парциальное давление – это давление, которое оказывал бы один газ из смеси, если бы занимал весь объем сосуда.

Распределение Максвелла молекул по скоростям

Если - число молекул в каком–либо объеме газа, а - число молекул со скоростями от до (+), то

- относительное число молекул из данного объема, движущихся со скоростью .

Вид функции был установлен Д.Максвеллом,

(13)

и она носит название «функция Максвелла» (или функция распределения молекул по скоростям). График функции для разных температур представлен на рис.1.

Рисунок 1.

Свойства функции Максвелла:

• Площадь, ограниченная функцией Максвелла и горизонтальной осью , равна единице:

= = = 1 .

• Наиболее вероятная скорость молекул газа.

Наиболее вероятная скорость – это скорость, с которой движется наибольшее число молекул при данной температуре. Этой скорости соответствует максимальное значение функции Максвелла. Значит, производная от по , при =, должна быть равна нулю, т.е.

= 0 при =.

, тогда

= =

= .

Производная равна нулю, если = 0. Отсюда получаем значение наиболее вероятной скорости

, или , т.к. и , то

.

• Средняя арифметическая скорость молекул.

= = , (14)

где - число молекул, движущихся со скоростью , а - полное число молекул.

Поскольку величина скорости распределена непрерывно, то сумма в выражении (14) переходит в интеграл:

, или

Таким образом, определяется через функцию Максвелла. В результате интегрирования получено, что

, или

. (15)

• Число молекул со скоростями от до .

Рассмотрим интеграл

= = = .

Т.е. относительное число молекул со скоростями от до численно равно площади заштрихованного участка на рисунке 1 и вычисляется через функцию Максвелла,

.

Эффективный диаметр и средняя длина свободного пробега молекулы

Эффективный диаметр молекулы – минимальное расстояние, на которое сближаются молекулы газа при соударениях.

Средняя длина свободного пробега молекулы - среднее расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными соударениями,

, (16)

- концентрация молекул.

Среднее число столкновений молекул за время ,

= = .

Число соударений в единицу времени,

. (17)

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА.

К явлениям переноса относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение (вязкость). Эти явления обусловлены хаотичным тепловым движением молекул и являются необратимыми.

Диффузия – самопроизвольное перемешивание частиц соприкасающихся веществ, или одного вещества, при котором выравнивается плотность . Уравнение диффузии (уравнение Фика)

, (18)

- масса вещества, которая переносится через площадку за время в направлении x, перпендикулярном площадке. - коэффициент диффузии, зависящий от рода вещества и температуры, - градиент плотности. Знак минус в уравнении отражает то, что перенос массы происходит в направлении меньшей плотности .

Теплопроводность – перенос теплоты в результате соударений молекул и передачи ими друг другу своей кинетической энергии. Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

, (19)

– теплота, которая переносится через площадку за время в направлении x, перпендикулярном площадке; - скорость изменения температуры в этом направлении; - коэффициент теплопроводности материала. Перенос тепла происходит в область с меньшей температурой.

Внутреннее трение (вязкость) – сцепление между собой слоев жидкости или газа. При этом слои, движущиеся с разными скоростями, за счет соударений молекул передают друг другу импульс , что приводит к выравниванию скорости движения слоев. Сцепление между собой слоев приводит к появлению сил трения между ними. За счет сил трения быстро движущийся слой замедляет свое движение, а медленно движущийся – убыстряет.

Уравнение внутреннего трения:

, (20)

- импульс, который переносится молекулами через площадку за время в направлении , перпендикулярном скорости движения слоев. - коэффициент вязкости, зависящий от рода жидкости или газа и их температуры.

Т.к. , то сила трения между слоями жидкости или газа, действующая на площадь поверхности, равна

. (21)

Если плотность потока массы , или плотность теплового потока, или плотность потока импульса является величиной постоянной, то в уравнениях диффузии, теплопроводности и внутреннего трения можно перейти от бесконечно малых изменений величин к конечным разностям и эти уравнения записать в виде

, , .

Для твердых тел и жидкостей коэффициенты определяются экспериментально, для идеальных газов

, , .

- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме .

7