Сопротивление материалов (часть I)
.pdf
y Главные оси инерции сечения
y0 v
y1
90 :
0 :
z1 |
|
Jzy |
( , ); |
|
|
90 |
|
|
|||
z0 u |
0 Juv 0 |
|
|||
|
0 |
( ) |
( ) |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
Jz1y1 z1y1dA; |
z1 y; |
y1 z |
||
|
A |
|
|
|
|
|
Jz1y1 y( z)dA yzdA Jzy |
||||
|
A |
|
|
A |
|
Jz1y1 Jzy |
|
|
|
|
|
Jzy Juv 0
z0 u: |
y0 v |
Jz0y0 Juv 0 |
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (18)
u,v главные оси инерции сечения,
относительно которых центробежный момент инерции равен нулю Juv 0
Положение главных осей инерции сечения 0
Juv |
Jzy cos2 0 |
|
1 |
Jy Jz sin2 0 0 |
|
||||
|
|
2 |
|
|
2Jzy
tg2 0 Jy Jz
Ось симметрии и перпендикулярная ей ось,
проходящая через центр тяжести сечения, являются
главными осями
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (19)
Анализ на экстремум
dJu Jz sin2 Jy sin2 2Jzy cos2
d
|
J |
|
|
J |
y |
J |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
zy |
|
|
|
|
|
2Juv |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Ju Jmax ; |
Jv |
|
Jmin |
|
|
|
|
||||
Моменты инерции имеют экстремальные значения
Ju Jv главные моменты инерции
|
|
Jz Jy |
|
1 |
|
|
|
|
Ju |
|
|
|
(Jz |
Jy)2 4Jzy2 |
|
||
|
2 |
|
|
|||||
v |
2 |
|
|
|
|
|
||
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (20)
Моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
y dA
dy
y
h
z
b
1. Прямоугольное сечение
dA bdy; |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Jz y2dA |
|
by2dy |
|
|
|
|||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
by3 |
|
|
|
b |
h3 |
|
|
|
h3 |
|
|
bh3 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
h |
3 |
|
|
|
|
8 |
|
12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Jz |
|
bh3 |
Jy |
|
hb3 |
|
|
|
|
||||
|
12 |
|
12 |
|
||
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (21)
y dA
dy
y
h
z
b
W |
|
bh2 |
W |
|
|
hb2 |
|
|
|
|
|
||||
z |
6 |
|
y |
6 |
|
||
Wz Jz
ymax
|
J |
z |
|
bh3 2 |
|
bh2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
12 h |
|
||||||
|
|
h |
|
6 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (22)
|
|
|
|
y |
dA |
2. Круглое сечение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
by |
|
d |
|
|
by |
dcos |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||
d |
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
dA bydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|||||||
|
|
|
|
by |
|
|
|
|
|
J Jz Jy; |
J |
|
J |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
y |
dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J 2dA; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA 2 d ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
|
|
r |
3 |
|
2 4 |
|
r |
|
|
|
r4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
2 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
d 2r |
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (23)
|
J |
|
r4 |
|
d4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jz |
Jy |
|
|
|
J |
|
|
|
d4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
J |
|
|
J |
|
|
r |
3 |
|
d3 |
W |
|
d3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
W W |
|
|
|
Jz |
|
|
Jz |
|
d4 |
|
2 |
|
d3 |
|
|
Wz Wy |
|
d3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
y |
|
|
|
ymax |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
64 d 32 |
|
32 |
|
|||||||||||||||||||
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (24)
3. Сечение пустотелого вала
y
dA 2 d
|
|
z |
|
|
rн |
2 |
4 |
|
rн |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
J 2 3d |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
d 2rв |
|
|
|
|
rв |
|
|
|
rв |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
J |
|
D4 |
1 4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
D 2r |
|
|||||||||||||
|
|
D |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
н |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W JD D3 1 4
16
2
Сопротивление материалов. Геометрические характеристики плоских сечений (25)
КРУЧЕНИЕ
Общие сведения Внутренние силовые факторы при кручении Три типа задач при кручении
Рациональная форма сечения вала Разрушение при кручении
Статически неопределимые задачи при кручении Кручение некруглых стержней
Общие сведения
Вал - стержень, испытывающий деформацию кручения
M M
Mx
y
M
z
Mx
M x
Сопротивление материалов. Кручение (1)