Soprotivlenie_materialov_2014

Осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей z и y :

Jz Jz(1) Jz(2);

0,0069 (12)4 (8,54 4,78)2 56,52 143,08 799,06

942,14 см4;

Jz Jz(1) Jz(2) 740,21 942,14 1682,3см4.

Jy Jy(1) Jy(2);

Квадраты радиусов инерции сечения:

61

Сжимающая сила F приложена в точке B поперечного сечения с координатами:

yB yC 4,78см; zB b 10,0см.

Определим координаты точек пересечения нейтральной линии с осями z и y:

Проведем нейтральную линию и определим наиболее удаленные от нее точки: точку B в сжатой части сечения ( zB 10,0см; yB 4,78см) и точку D в растянутой части се-

1.9. Расчет сжатого стержня на продольный изгиб

Разрушение короткого сжатого стержня может быть вызвано исчерпанием запаса прочности по нормальным напряжениям (при напряжениях, больших предела текучести для пластичного материала, либо предела прочности для хрупкого материала). Для длинного гибкого стержня разрушению может предшествовать потеря устойчивости, сопровождающаяся искривлением его продольной оси. Нагрузка, вызывающая потерю устойчивости стержня, называется критической, ее величина определяется расчетом на устойчивость (рис. 1.24).

Рис. 1.24

Потеря устойчивости может происходить при напряжениях, меньших предела пропорциональности пц (упругая стадия

работы сжатого стержня). В ряде случаев потеря устойчивости может происходить в упругопластической стадии работы материала, т. е. при кр пц .

Сложность определения размеров поперечного сечения обуславливается тем, что заранее неизвестно, в какой стадии работы материала произойдет потеря устойчивости стержня. В нормах проектирования используется методика снижения расчетного сопротивления материала до безопасного уровня R , где – коэффициент продольного изгиба (0 1,0).

64

Величина коэффициента табулирована для различных материалов в зависимости от безразмерной величины, называе-

мой гибкостью стержня . Для стали зависимость ( )

imin

представлена в табл. 1.1.

личина коэффициента приведения длины определяется условиями закрепления сжатого стержня (рис. 1.25).

Рис. 1.25

65

Условие устойчивости при продольном изгибе стержня за-

писывается в виде N R.

A

Для определения требуемой площади поперечного сечения

A N необходимо знать величину , которая зависит от неиз-

R

вестных размеров сечения. Задача по определению размеров решается последовательными приближениями в следующем порядке:

– предварительно задаются значением коэффициента ,

(например, 1 0,5);

– из условия устойчивости определяется требуемая пло-

щадь поперечного сечения A N ;

1R

–по полученной площади A подбираются размеры сечения (номер профиля из сортамента проката);

–вычисляется гибкость стержня ;

imin

– определяется коэффициент продольного изгиба 1* в зависимости от полученной гибкости (при необходимости используется интерполяция между табличными значениями);

– проверяется выполнение условия устойчивости по фор-

муле N *R.

A 1

Вычисления прекращаются, если условие устойчивости выполняется (с небольшим запасом в 3 5%), либо невозможно уменьшить номер прокатного профиля.

В противном случае выполняется следующее приближение

размеров сечения достаточно сделать четыре-пять приближений.

66

При интерполяции между двумя табличными значениями считается, что зависимость ( ) кусочно-линейная (рис. 1.26). Предполагается, что величины коэффициента продольного изгиба на левой и правой границе интервала известны и равны соответственно ( лев) и ( прав ). По чертежу определяется значение ( ):

( лев ) ( прав )

( ) ( прав ) ( прав ) прав ,

прав лев

где лев прав.

В ряде случаев величина гибкости может превышать предельное значение max , приведенное в таблицах норм проек-

тирования. Определение размера сечения d следует производить по предельной гибкости (d) max (этот случай рас-

смотрен в приведенном ниже примере).

( лев)

( )

( прав )

лев прав

Рис. 1.26

Критическая сила для сжатого стержня определяется в зависимости от гибкости по одной из трех формул:

–Fкр 2EJmin , если пред (формула Эйлера); ( )2

–Fкр кр A (a b )A, если 1 пред (формула Ясин-

ского);

67

Минимальный радиус инерции imin iz iy 0,573d.

2,14 2,14

Назначаем d 3,0см.

Находим гибкость: 1466 1466 489. d 3,0

69

Полученная величина много больше максимальной гибкости max 200, имеющейся в табл. 1.1.

Подбираем сечение из условия предельной гибкости:

Находим гибкость: 1466 198. 7,4

Интерполяцией между двумя значениями находим:

(200) 0,19; (190) 0,21;

17,06МПа R 1* 210 0,194 40,7 МПа.

Критическую силу при гибкости 198 100 находим по формуле Эйлера:

3,142 2 1011 0,702 (7,4)4 10 8 588кН. (2 4,2)2

Коэфициент запаса по устойчивости ny Fкр 588 2,94.

F 200

В рассмотренном выше примере сечение было подобрано из условия предельной гибкости, без использования последовательных приближений.

Для иллюстрации этого метода решим аналогичную задачу при следующих исходных данных:

F 400кН; 2,1м.

70