1.3. Влияние кривизны Земли на угловые, линейные и высотные измерения

Примем Землю за шар с R= 6372 км. Найдем размеры участка земной поверхности, результаты геодезических измерений на котором незначительно отличаются от аналогичных измерений, выполненных на плоскости.

Пусть на сфере измерены углы А, В, С (рис.1.2). Стороны такого треугольника образованы дугами больших кругов. Известно, что сумма углов сферического треугольника А+В+С >180º. После ортогонального (в геодезии – по направлению силы тяжести) проектирования точек А, В, С на плоскость получим плоский треугольник А′В′С′, в котором сумма углов

А′ + В′ + С′ = 180º.

Если стороны треугольника на сфере менее 20 км, то величина

ε = А + В + С -180º

не превышает десятых долей секунды дуги. Так как средняя точность измерения углов на строительной площадке порядка 30″, то кривизной Земли при угловых измерениях в таком случае можно пренебречь.

Найдем искажение в длине дуги АВ = Sпосле замены ее отрезком касательной А′В′ = dв середине дуги - точке С (рис.1.3).

Вычислим

 = d – S ,(1)

где (2)

Разложим в ряд

(3)

Величину   S/Rподставим в (3), ограничиваясь двумя членами разложения

Тогда формула (2) примет вид

Окончательно получим

(4)

Величину линейного искажения принято характеризовать относительной погрешностью, которая в нашем случае будет равна

(5)

Величина погрешности (5) для S= 20 км равна

Современный уровень техники геодезических измерений позволяет достичь точности 1:1 000 000 и, следовательно, кривизной Земли при измерении расстояний в этом случае можно пренебречь.

Замена дуги АВ касательной в точке С приводит к искажению высот. По мере удаления от точки это искажение возрастает. Обозначим его величину на концах дуги через h(рис.1.3). Из треугольника ОСВимеем

Откуда найдем

Величиной hв знаменателе можно пренебречь и окончательно получим

(6)

Придавая расстоянию d/2 различные значения, получим для искажения следующие величины (табл.1)

Таблица 1

d/2 , м	100	500	1000	2000	3000	5000
h, мм	0,8	20	78	310	710	1050

Поскольку размеры строительной площадки нередко достигают 1000 м и более, и при этом требуется обеспечить точность в определении высот точек порядка 20-50 мм при их удалении друг от друга на 1 км, то, очевидно, что при измерении вертикальных расстояний кривизной Земли пренебрегать нельзя. Однако, как увидим в дальнейшем, это препятствие легко устраняется путем применения специальной методики измерения превышений.

С учетом сделанного замечания можно сделать вывод: практически при всех геодезических измерениях на строительной площадке кривизной Земли можно пренебречь.

1.4. Системы координат, применяемые в геодезии

1.4.1. Географическая система координат

Для определения положения точек на поверхности Земли приняты геодезическая, астрономическая и географическая системы координат. Они являются едиными для всех точек Земли. Основу этих систем составляют плоскость экватора и плоскость начального (гринвичского) меридиана, проходящего через центр Гринвичской обсерватории близ г. Лондона. Положение любой точки А определяется двумя координатами – долготойи широтой. Долготойназывается двугранный угол (рис.1.4), образованный плоскостями гринвичского меридиана и меридиана, проходящего через точку А. Широтойназывается угол, образованный радиусом-вектором ОА с плоскостью экватора.

Если радиус-вектор ОА совпадает с нормалью к поверхности земного эллипсоида, то система координат называется геодезической. Если совпадает с направлением силы тяжести, то система координат называется астрономической. Если пренебречь сжатием Земли и отклонением нормали от направления силы тяжести, то обобщением этих двух систем координат является географическая система координат.

Широты отсчитываются от экватора к северу и к югу от 0до 90и называются соответственно северными и южными. Долготы отсчитываются от Гринвичского меридиана к востоку и к западу от 0до 180и называются соответственно восточными и западными.

Третьей координатой точки на физической поверхности Земли является ее высота над уровенной поверхностью, совпадающей с уровнем морей и океанов. В нашей стране все высоты отсчитываются от среднего уровня Балтийского моря, определенного из многолетних наблюдений. Этот средний уровень обозначен горизонтальной чертой на медной доске, вделанной в опору моста, и называется нулем Балтийского футштока.