Задачник по линейной Алгебре и Мат Анализу / Часть 6

6. Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных

6.1. Найти и изобразить области определения следующих функций:

а) u=;	б) u=1+;	в) u=ln(x+y);
г) u=x+arctgy;	д) u=;	е) u=arcsin(y/x)
ж) u=;	з) u=;	и) u=ln(x2+y)
к) u=1/(x2+y2);	л) u=;	м) u=ln(xyz);
н) u=.

6.2. Построить линии уровня функций и выяснить характер изображаемых ими поверхностей:

а) z=x+y;	б) z=x2+ y2	в) z = x2–y2;	г) z=;
д)z=(1+x+y)2;	е) z=1–|x|–|y|;	ж) z=y/x2;	з) z=y/;
и) z=.

6.3. Найти поверхности уровня следующих функций:

а) u=x+y+z;

б) u=x2+y2+z2;

в) u=x2+y2–z2.

6.4. Найти пределы:

а) ;	б) ;	в) ;
г) ;	д) .

6.5. Найти точки разрыва функций:

а) z=ln;

б) z=;

в) z=;

г) z=cos.

6.6. Найти частные производные функций:

а) z=x3+y3–3axy;	б) z=	в) z=y/x;
г) z=;	д) z=x/;	е) z=ln;
ж) z=arctg(y/x);	з) z=xy;	и) z=esin(y/x);
к) z=arcsin;	л) z=lnsin;	м) u=(xy)z;
н) u=zxy.	о)	п)

6.7. Показать, что , если z=(x²+xy+y²).

6.8. Показать, что , если z=xy+ xe^(y/x).

6.9. Показать, что , если u=(x–y)(y–z)(z–x).

10. Для функции f(x,y)=x²y найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1;2); сравнить их, если: а) x=1, y=2,; б) x=0,1, y=0,2.

11. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) z=x3+ y3–3xy;	б) z=x2y3;	в) z=;
г) z=sin2x+cos2y;	д) z=yxy;	е) z=ln(x2+y2)
ж) z=arctg+arctg;	з) z=lntg(y/x);	и) u=xyz;
к) u=;	л) z=;	м) u=arctg.

12. ычислить приближенно с помощью полного дифференциала подходящей функции:

а) (1,02)3(0,97)2;	б) ;	в) 1,042,02;
г) ln.

6.13. z=x/y; x=e^t; y=lnt; =?

6.14. u=lnsin; x=3t²; y=; =?

6.15. u=xyz; x=t²+1; y=lnt; z=tgt; =?

6.16. u=; x=Rcost; y=Rsint; z=H; =?

6.17. z=arctg; y=x²; =?, =?

6.18. z=arctg; x=usinv; y=ucosv; =?,=?

6.19. z=x²lny; x=; y=3u–2v; =?,=?

6.20. Показать, что функция z=arctg(x/y), где x=u+v, y=u–v, удовлетворяет соотношению .

6.21. Показать, что функция z=y(x²–y²) удовлетворяет уравнению .

6.22. Показать, что функция u=x^kF, где F дифференциальная функция, удовлетворяет уравнению .

6.23. Найти .

а) x3y–y3x=a4;	б) xey+yex–exy=0;	в) sin(xy)–exy–x2y=0;
г) xy–lny=a;	д) yx=xy.

6.24. Найти и .

а) ;	б) x2–2y2+z2–4x+2z–5=0;	в) z3+3xyz=a3;
г) ez–xyz=0.

6.25. Найти полный дифференциал функции z, определяемой уравнением cos²x+cos²y+cos²z=1.

6.26. z=x^y. Показать, что .

6.27. z=arctg(x/y). Показать, что .

6.28. Найти .

а) z=;		б) z=ln;		в) z=arctg;
г) z=sin2(ax+by);	д) z=;		е) z=; ж) z=ylnx.

6.29. =?	6.30. z=; =?
6.31. z=sin(xy); =?	6.32. u=;=?

6.33. а)Показать, что функция удовлетворяет уравнению

б) u=e^x(xcosy–ysiny); показать, что .

6.34. u=ln; показать, что .

6.35. , убедиться, что и что .

6.36. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

6.37. u=; показать, что .

6.38. u(x,y,z,t)=; показать, что

.

6.39. Найти дифференциал второго порядка:

а) z=xy²–x²y; б) z=ln(x–y); в) z=e^xy; г) u=xyz.

6.40. .

6.41. 3x²y²+2z²xy–2zx³+4zy³– 4=0. Найти d²z в точке (2;1;2).

6.42. Сделать замену переменных x=1/t в выражении x⁴y+2x³y+y.

6.43. Преобразовать выражение , полагая x=sint.

6.44. Преобразовать к новым независимым переменным u и v урав-нение , если u=x, v=y/x.

6.45. Уравнение Лапласа преобразовать к полярным координатам r и , полагая x=rcos, y=rsin.

6.46. Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные u=x+y, v=y/x и за новую функцию w=z/x.

6.47. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нор-мали к следующим поверхностям в указанных точках:

а) к параболоиду вращения z=x²+y² в точке (1;–2;5);

б) к конусу x²/16+y²/9–z²/8=0 в точке (4;3;4);

в) к сфере x²+y²+z²=2Rz в точке (Rcos; Rsin; R).

6.48. В каких точках эллипсоида нормаль к нему образует равные углы с осями координат?

6.49. К поверхности x²+2y²+3z²=21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x+4y+6z=0.

6.50. Функцию f(x,y,z) = x²+ y²+ z²+ 2xy–yz–4x–3y–z+4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1;1).

6.51. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию f(x,y)=e^xsiny.

6.52. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно функцию f(x,y)=x^y.

Исследовать на экстремум следующие функции:

6.53. z=(x–1)2+2y2.	6.54. z=(x–1)2–2y2.
6.55. z=x2+xy+y2–2x–y.	6.56. z=x3y2(6–x–y); (x>0, y>0).
6.57. z=x4+y4–2x2+4xy–2y2.	6.58. z=(x2+y2).
6.59. u=x2+y2+z2–xy+x–2z.	6.60. u=x+y2/(4x)+z2/y+2/z; (x>0, y>0, z>0).

Определить условные экстремумы функций:

6.61. z=xy при x+y=1.

6.62. z=x+2y при x²+y²=5.

6.63. z=cos²x+cos²y при y–x=/4.

6.64. u=x–2y+2z при x²+y²+z²=9.

6.65. u=xy²z³ при x+y+z=12; (x>0, y>0, z>0).

6.66. u=xyz при x+y+z=5, xy+yz+zx=8.

6.67. Определить наибольшее значение функции z=1+x+2y в областях: а) x0; y0; x+y1; б) x0; y0; x–y1.

6.68. Определить наибольшие и наименьшие значения функций а) z=x²y и б) z=x²–y² в области x²+y²1.

6.69. Определите наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

а) , , ;

б) ;

в) ;

г) .

6.70. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z=sinx+siny+sin(x+y) в области: 0x/2; 0y/2.

6.71. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z=x³+y³–3xy в области: 0x2; –1y2.

6.72. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.

6.73. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность.

6.74. Из всех треугольников данного периметра 2p найти тот, который имеет наибольшую площадь.

6.75. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью поверхности S, имеющий наибольший объем.

6.76. На плоскости XOY найти точку M(x,y), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых: x=0, y=0, x–y–1=0 была наименьшей.

Ответы

6.1. а) Единичный круг с центром в начале координат, включая окружность (x²+y²1); б) биссектриса y=x I и III координатных углов; в) полуплоскость, расположенная над прямой х+у=0 (х+у>0); г) полоса, заключенная между прямыми у=1, включая эти прямые (–1у1); д) квадрат, образованный отрезками прямых х=1, у=1, включая его стороны (–1x1, –1y1); е) часть плоскости, примыкающая к оси OX и заключенная между прямыми y=x, включая эти прямые и исключая начало координат (–xyx при x>0, xy–x при x<0); ж) две полуполосы х2, –2у2 и х–2, –2у2; з) полуполосы 2nх(2n1), у0 и (2n1)х(2n2), у0, где n – целое число; и) часть плоскости, расположенная выше параболы у= –х² (х²+у>0); к) вся плоскость хоу, за исключением начала координат; л) I октант (включая границу); м) I, III, VI и VIII октанты, исключая границу; н) шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая его поверхность. 6.2. а) Плоскость; линии уровня – прямые, параллельные прямой х+у=0; б) параболоид вращения; линия уровня – концентрические окружности с центром в начале координат;

в) гиперболический параболоид; линии уровня – равносторонние гиперболы г) конус 2-го порядка; линия уровня – равносторонние гиперболы;

д) параболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х+у+1=0; линии уровня – параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды; линии уровня – контуры квадратов; ж) линии уровня – параболы у=сх²; з) линии уровня – параболы у=с; и) линии уровня – окружности с(х²+у²)=2х. 6.3. а) Плоскости, параллельные плоскости x+y+z=0; б) концентрические сферы с центром в начале координат; в) при u>0 однополосные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; при u<0 двуполостные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; оба семейства поверхностей разделяет конус x²+y²–z²=0 (u=0). 6.4. а) 0; б) 2; в) e^k; г) не существует; д) не существует. 6.5. а) О(0;0); б) все точки прямой х=у; в) все точки окружности х²+у²=1; г) все точки координатных осей. 6.6. а) =3(х²–ay), =3(у²–ах); б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; е) , ; ж) , ; з) =yx^y–1, =x^ylnx; и) ; ; к) , ; л) =

, ; м) , , ; н) , , . 6.10. f= =4x+y+2(x)²+2xy+(x)²y, df=4dx+dy; а) f–df=8; б) f–df=0,062. 6.11. а) dz=3(x²–y)dx+3(y²–x)dy; б) dz=2xy³dx+3x²y²dy; в) dz= (ydx–xdy); г) dz=sin2xdx–sin2ydy; д) dz=y²x^y–1dx+x^y(1+ylnx)dy; e) dz= =; ж) dz=0; з) dz=(xdy–ydx); и) du=yzdx+zxdy+xydz; к) du=; л) du= ; м) du=. 6.12. а) 1,00; б) 4,998; в) 1,08; г) 0,005. 6.13. . 6.14. . 6.15. . 6.16. =0. 6.17. ; . 6.18. =0; =1. 6.19. ; . 6.23. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 6.24. а) , ; б) , ; в) , ; г) , . 6.25. . 6.28. а) ,

, ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , ,; е), , ; ж) , , . 6.29. . 6.30. . 6.31. –x(2sin(xy)+xycos(xy)). 6.32. (x²y²z²+3xyz+1)e^xyz. 6.39. а) –2ydx²+4(y–x)dxdy+ +2xdy²; б) ; в) e^xy((ydx+xdy)²+2dxdy); г) 2(zdxdy+ydxdz+xdydz).