Задачник по линейной Алгебре и Мат Анализу / Часть 2
.doc2. Векторная алгебра
Линейные операции над векторами
-
Угол между векторами
и
равен
300. Построить векторы
и
. -
Вычислить модуль вектора
. -
Даны две координаты вектора
Определить его третью координату z
при условии, что
-
Даны точки А(3;–1;2) и В(–1;2;1). Найти координаты векторов
и
. -
Определить начало вектора
если его конец совпадает с точкой
(1;–1;2). -
Вычислить направляющие косинусы вектора
-
Дан модуль вектора
и углы
которые он составляет с осями координат.
Найти координаты вектора
. -
Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы 1)
2)
3)
?
-
Вектор составляет с осями Ох и Oz углы
и
.
Какой угол он составляет с осью Oy? -
Вектор
составляет с осями Ох и Oy
углы
и
.
Вычислить его координаты при условии,
что
. -
Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.
-
Точка
является центром тяжести
.
Доказать, что
. -
В треугольной пирамиде
даны векторы
,
,
.
Найти вектор
,
где
– точка пересечения медиан
. -
Какому условию удовлетворяют векторы
и
,
если вектор
направлен по биссектрисе между ними? -
Даны
Вычислить
-
Векторы
и
образует
угол
,
причем
Определить
и
. -
Определить при каких значениях
и
векторы
=
–2i+3j+k
и
коллинеарны. -
Найти орт вектора
. -
Определить модули суммы и разности векторов
и
. -
Даны три вектора
Определить разложение вектора
по базису векторов
и
. -
Даны три вектора
Найти разложение вектора
по базису
. -
Даны четыре вектора
и
Определить разложение вектора
по базису
Скалярное произведение двух векторов
-
Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что
вычислить: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-
Даны единичные векторы
удовлетворяющие
условию
Вычислить
-
Векторы
попарно
образуют друг с другом углы, каждый из
которых равен 600. Зная, что
и
определить
модуль вектора
-
Дано, что
Определить при каком значении
векторы
и
будут взаимно перпендикулярны. -
Какому условию должны удовлетворять векторы
и
,
чтобы вектор
был перпендикулярен вектору
? -
Определить угол между векторами
и
-
Даны вершины треугольника
,
,
.
Найти его внутренний угол
при вершине
и внешний угол
при вершине
. -
Найти вектор
,
перпендикулярный векторам
и
,
если известно, что его проекция на
вектор
равна 1. -
Определить углы
с вершинами А(2;-1;3), В(1;1;1) и
С(0;0;5). -
На плоскости дан
и
Найти угол, образованный стороной ОВ
и медианой ОМ этого треугольника. -
Найти угол между биссектрисами углов xOy и YOZ.
-
Из вершины квадрата проведены прямые делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
-
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
и
-
Раскрыть скобки и вычислить
-
Даны векторы
и
Найти пр
и пр
. -
Даны три вектора
и
Вычислить пр
-
Даны три вектора
и
.
Вычислить пр
. -
Вычислить какую работу производит сила
когда
ее точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения
А(2;–3;5) в положение В(3;–2;–1). -
Даны три силы
и
приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается
из точки М1(5;3;–7) в точку
М2(4;–1;–4).
Векторное произведение двух векторов
-
Раскрыть скобки и упростить выражения:
1)
2)
3)
4)
-
Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что
.
Вычислить
-
Даны:
и
Вычислить
-
Даны:
и
Найти
-
Векторы
и
взаимно перпендикулярны. Зная, что
вычислить: 1)
2)
. -
Векторы
удовлетворяют условию
.
Доказать, что
. -
Упростить выражение
. -
Доказать тождество
. -
Какому условию должны удовлетворять векторы
и
,
чтобы векторы
и
были коллинеарны? -
Даны векторы
и
.
Найти координаты векторных произведений:
1)
;
2)
3)
-
Даны точки А(2;–1;2), В(1;2;–1) и С(3;2;1). Найти координаты векторных произведений:
2)
-
Сила
приложена
к точке
Определить момент этой силы относительно
точки
. -
Сила
приложена к точке
Определить величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно
точки
-
Вычислить площадь треугольника с вершинами
и
-
Построить параллелограмм на векторах
и
и вычислить его площадь и высоту. -
Векторы
и
составляют угол 450. Найти площадь
треугольника, построенного на векторах
и
,
если
-
Построить треугольник с вершинами
и
Вычислить его площадь и высоту
. -
Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
-
Доказать, что
. -
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
где
и
– единичные векторы, образующие угол
300. -
Вектор
,
перпендикулярный к оси Oz
и к вектору
образует острый угол с осью Ox.
Зная, что
найти его координаты.
Смешанное произведение трех векторов
-
Показать, что векторы компланарны.
1)
2)
3)
-
Показать, что: 1)
2)
-
Вектор
перпендикулярен
к векторам
и
угол между
и
равен 300. Зная, что
вычислить
-
Доказать тождество
-
Даны три вектора
Вычислить
-
Доказать, что четыре точки
лежат в одной плоскости. -
Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках
и
-
Построить пирамиду с вершинами
и
и вычислить ее объем, площадь грани
АВС и высоту пирамиды, опущенную
на эту грань. -
Построить пирамиду с вершинами А(2;0;0), В(0;3;0) С(0;0;6) и
,
вычислить ее объем и высоту, опущенную
на грань АВС. -
Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
-
Объем тетраэдра
три его вершины находятся в точках
Найти координаты четвертой вершины
D, если известно, что она
лежит на оси Oy.
Ответы
2.2.
7.
2.3.
±3.
2.4.
(–4;3;–1);
(4;–3;1). 2.5.
(–1;2;3).
2.6.
.
2.7.
2.8. 1)
да; 2) нет; 3) да. 2.9.
600
или 1200.
2.10.
или
.
2.11.
и
2.12.
2.13.
.
2.14.
.
2.15. 22.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23. 1)
–6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) –61; 6) 37; 7) 73. 2.24.
–1,5. 2.25.
10. 2.26.
2.27.
2.28. 1350.2.29.
.
2.30.
.
2.31. 450;
450;
900.
2.32.
2.33. 600..
2.34.
2.35. 900.
2.36. 2.
2.37.
2.38. –4.
2.39. 5.
2.40. 31.
2.41. 13.
2.42. 1)
2)
3)
4)
3. 2.43. 15.
2.44. 16.
2.45.
2.46. 1) 24; 2) 60.
2.48.
.
2.50.
2.51. 1)
{5;1;7}; 2) {10;2;14}; 3) {20;4;28}. 2.52.
1)
{6;–4;–6}; 2) {–12;8;12}. 2.53.
{–4;3;4}
2.54.
28;
2.55. 24,5.
2.56.
2.57.
2.58.
2.59.
2.61. 1,5. 2.62.
{45;24;0}.
2.65.
2.67. –7.
2.69. 3.
2.70. V=14ед.3,
2.71.
V=14ед.3,
2.73.
