9. Дифференциальные уравнения Уравнения с разделяющимися переменными

Решить уравнения:

9.1. xydx+(x+1)dy=0.	9.2. .
9.3. z=10x+z.	9.4. .
9.5. (x+1)3dy–(y–2)2dx=0.	9.6.
9.7. .	9.8. 2x+y+3x–2yy=0.
9.9. (y+xy)dx+(x–xy)dy=0.	9.10. x2(2yy–1)=1.

Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям:

9.11. yctgx+y=2;	y(0)= –1.
9.12. ;	y(2)=0.
9.13. xy+y=y2;	y(1)=0,5.
9.14. ydx+ctgxdy=0;	y(/3)= –1.
9.15. S=Scos2tlnS;	S()=1.
9.16. y2+x2y=0;	y(–1)=1.
9.17. 2(1+ex)yy=ex;	y(0)=0.
9.18. (1+x2)y3dx–(y2–1)x3dy=0;		y(1)= –1.
9.19. (1+x2)dy+ydx=0;	y(1)=1.
9.20. xdy+(y–5)dx=0;	y(– 4)=8

21. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная а².

22. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника построенного как в предыдущей задаче есть величина постоянная, равная b.

23. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ОХделится пополам в точке пересечения с осьюОY.

24. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (–1;–1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОХкасательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

25. Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорциональна угловому коэффициенту касательной, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности K=3. Найти уравнение кривой.

26. В сосуд, содержащий 10 литров воды, непрерывно поступает со скоростью 2 литра в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?

27. Пуля, двигаясь со скоростью V₀=400 м/с, углубляется в достаточно толстую стену. Сила сопротивления стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену, если коэффициент пропорциональностиK=7м^–1.

28. Тело охладилось за 10 минут от 100⁰до 60⁰. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20⁰. Когда тело остынет до 25⁰? (Скорость остывания тела пропорциональна разности температуры тела и окружающей среды).

29. За 30 дней распалась 50% первоначального количество радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?

30. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 2R=1,8 м и высотойH=2,45 м через отверстие в дне диаметром 2r=6 см? Ось цилиндра вертикальна. Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью равнойгдеg=10м/сек²,h– высота уровня жидкости над отверстием.