5. Уравнение прямой в пространстве.

а) Прямую в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей:

б) Уравнение прямой, проходящей через две точки и

.

в) Канонические уравнения прямой , проходящей через точкуи параллельно вектору. Векторназывается направляющим вектором прямой.

г) Параметрические уравнения прямой .

д) Угол между двумя прямыми иравен углу между направляющими векторамии.

.

е) Условие параллельности двух прямых: .

ж) Условие перпендикулярности двух прямых: .

з) Расстояние от точки до прямой

.

и) Угол между прямой и плоскостьюопределяется по формуле.

к) Если и, то прямая параллельна плоскости.

л) Если и, то прямая лежит в плоскости.

Пример 3.14. Прямая задана общими уравнениями

Найти канонические уравнения прямой.

Решение.

Используем формулу (5в).

Найдем координаты точки . Пусть, тогда получим систему уравненийРешим систему методом алгебраического сложения

.

Итак, , т.е.

Найдем координаты направляющего вектора .

Так как и, то.

Таким образом, канонические уравнения прямой имеют вид .

Пример 3.15. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Используя формулу (5г) запишем уравнение прямой в виде .

Координаты точки удовлетворяют и уравнению прямой и уравнению плоскости.

.

Получим

Итак, координаты точки .

Пример 3.16. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

.

Решение.

По формуле (5б) имеем .

Так как прямая перпендикулярна плоскости, то и, следовательно, за координаты вектораможно принять координаты вектора.

Таким образом, уравнение прямой .

Пример 3.17. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку.

Решение: Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую: ,

, .

Точка принадлежит плоскости и следовательно, удовлетворяет своими координатами уравнению плоскости. Подставимв последнее уравнение пучка, получим

.

Подставляя в уравнение пучка плоскостей, получим:

,

или .

Пример 3.18. Прямые и, параллельны, т.к. условие (5е)выполняется.

Пример 3.19. Прямые иперпендикулярны, т.к. условие (5ж)выполняется.

Пример 3.20. Найти расстояние от точки до прямой.

Решение: По формуле (5г) , где,,,.

.

, тогда .

Итак, .

6. Кривые второго порядка.

Окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных о данной точки называемой центром окружности– каноническое уравнение окружности.

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, таких что, сумма расстояний от которых до двух указанных точек и, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

, где .

Гипербола –это геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых от двух данных точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

, где

Парабола – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленной от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы

Пример 3.21. Даны точка и прямая. Составить уравнение линии, каждая точкакоторой а) в два раза ближе к, чем к прямой; б) в два раза дальше от, чем от прямой; в) равноудалена оти прямой.

Решение.

а) По условию задачи .

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем. Составим уравнение, возьмем обе части в квадрат

, преобразуем:

, , выделим полный квадрат,

,

–уравнение эллипса с центром в точке и

длинами полуосей .

б) По условию задачи . Составим уравнение. Преобразуем:

,

,

–уравнение параболы с центром в точке и длинами.

в) По условию задачи . Уравнение имеет вид.

Преобразуем:,

–уравнение параболы с вершиной .