§ 3. Элементы аналитической геометрии.

1. Расстояние между двумя точка и, т.е. длина отрезка, находится по формуле.

2. Если отрезок делится точкой в отношении , то,,.

Если , то есть, то,,.

3. Уравнение прямой на плоскости

а) Уравнение прямой с угловым коэффициентом ,.

б) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

в) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

.

г) Уравнение прямой в отрезках ,и– величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

д) Общее уравнение прямой . Угловой коэффициент.

е) Угол между двумя прямымииопределяется из соотношения.

ж) Условие параллельности двух прямых: .

з) Условие перпендикулярности двух прямых: .

и) Расстояние от точкидо прямойнаходится по формуле.

Пример 3.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и.

Решение: По формуле (3в)

, ,

.

–общее уравнение прямой.

Пример 3.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой.

Решение: По формуле (1б)

Угловой коэффициент прямой . Прямые параллельны, поэтому их угловые коэффициенты равны:. Таким образом,,,,– уравнение искомой прямой.

Пример 3.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой.

Решение: По формуле (1б)

Угловой коэффициент прямой .

Прямые перпендикулярны, поэтому , отсюда. Таким образом,,,,– уравнение искомой прямой.

Пример 3.4. Найти расстояние от точки до прямой.

Решение: По формуле (3и)

.

Пример 3.5. Найти угол между прямыми и.

Решение: Угловые коэффициенты данных прямых и. По формуле (3е).

, .

Пример 3.6. Даны вершины треугольника . Найти точку пересечения медиан треугольника.

Решение: Найдем по формуле (2) координаты точки , как середины отрезка.

.

Аналогично, координаты точки .

.

Найдем по формуле (1в) уравнение медиан и.

, ,.

Находим уравнение медианы . Так как точкииимеют одинаковые абсциссы, топараллельна оси, т.е. ее уравнение. Решив систему уравненийнаходим, т.е. точка пересечения медиан.

4. Уравнения плоскости.

а) Общее уравнение плоскости , где– нормальный вектор плоскости, перпендикулярный ей.

б) Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку

.

в) Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,,.

.

г) Угол между двумя плоскостями

и равен углу между нормальными векторами этих плоскостей:.

.

д) Условие параллельности плоскостей

.

е) Условие перпендикулярности плоскостей

.

ж) Расстояние от точкидо плоскости

.

Пример 3.7. Составить уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Решение.

По формуле (4б)

, – уравнение плоскости.

Пример 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение.

По формуле (4в)

, ,

,

, .

Пример 3.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости.

Решение.

Для данной плоскости нормальный вектор. Так как плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны, а следовательно,можно принять за нормальный вектор искомой плоскости.

По формуле (4б)

, .

Пример 3.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостями.

Решение.

Обозначим

;

;

.

По формуле (4б)

Уравнение плоскости проходящей через точку.

Так как плоскость и, тои.

Следовательно, .

или .

Таким образом, ,.

Пример 3.11. Найти расстояние от точки до плоскости.

Решение.

По формуле (4ж)

.

Пример3.12. Плоскости иперпендикулярны, т.к. условие (4е)выполняется.

Пример 3.13. Плоскости ипараллельны, т.к. условие (4д)

выполняется.